Mittelwertsatz, Funktion?
Hallo
Wie kann ich das mit dem Mittelwertsatz zeigen?
1 Antwort
Dass es überhaupt eine reelle Nullstelle der Funktion gibt, ist klar (Zwischenwertsatz... Für x→unendlich werden die Funktionswerte beliebig groß, für x→ - unendlich beliebig klein, also auch irgendwo gleich null.)
Nun nimm an, es gäbe zwei verschiedene reelle Nullstellen a, b. Dann wäre der Differenzenquotient (f(a)-f(b))/(a-b) gleich 0, nach dem Mittelwertsatz aber auch gleich einem Ableitungswert der Funktion. Die Ableitung der Funktion ist aber gleich
3x² + 6x + 5 = 3(x+1)² + 2 > 0.
Aus die Maus.
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Nachtrag: Der Schluss aus der obigen Lösung liefert noch eine wesentlich allgemeinere Aussage:
Seien c, d reelle Zahlen mit c<d. Sei f eine reellwertige stetige Funktion auf [c,d], die im Inneren des Intervalls [c,d] differenzierbar ist. Hat die Ableitungsfunktion f' dort keine Nullstelle, so ist f streng monoton fallend oder streng monoton wachsend.
Zum Beweis muss man nur zeigen, dass f auf [c,d] injektiv ist. (Denn dann kann es keine Werte u,v,w in [c,d] geben mit u<v<w und f(u)<f(v), f(v)>f(w). Sonst würde nämlich wegen des Zwischenwertsatzes der Wert f(u) nochmals im Intervall [v,w] oder der Wert f(w) nochmals im Intervall [u,v] von f angenommen - je nach dem, welcher von beiden der kleinere ist -, im Widerspruch zur Injektivität von f auf [c,d]. Analog kann es keine solchen Werte u,v,w mit f(u)>f(v), f(v)<f(w) geben. Das bedeutet, dass f auf [c,d] streng monoton ist.)
Die Injektivität von f auf [c,d] ergibt sich aber - wie in der Aufgabenlösung, indem man annimmt, es gäbe zwei Zahlen a,b in [c,d] mit f(a)=f(b), und dann den zu diesen beiden gehörigen Differenzenquotienten betrachtet. Dessen Zähler ist 0 (wegen f(a)=f(b)). Nach dem Mittelwertsatz muss es daher ein z mit a<z<b geben mit f'(z)=0. Widerspruch, denn z liegt im offenen Intervall mit den Grenzen c,d. [Beweisende]
Natürlich zeigt die Injektivität (voriger Absatz), dass f im Intervall [c,d] höchstens eine Nullstelle haben kann - darum ging es in der Aufgabe. Aber strenge Monotonie besagt mehr, und vor allem zeigt sich, dass die Behauptung in der Aufgabe nur einen winzigen Zipfel einer allgemeinen und doch einfachen Aussage darstellt.