Wie kann man mittels Rechtstranslation einen Monomorphismus konstruieren?

Moin.

Gegeben sei eine Gruppe G. Wir definieren Rechtstranslation mit a auf G wie folgt:

$\tau_a\ :\ G\ \rightarrow\ G,\ \quad\quad g\ \mapsto\ ga.$

Ich möchte jetzt zeigen, dass dann

$f\ :\ G\ \rightarrow\ S\left(G\right),\ \ \quad a\ \mapsto\ \tau_a$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Ich habe bereits die Injektivität sowie

$\tau_a\in S\left(G\right),$ was mir fehlt ist, dass das ganze auch tatsächlich ein Homomorphismus ist. Für die Linkstranslation kenne ich den Beweis, wenn ich hier einfach das gleiche probiere komme ich aber auf folgendes:

$\left(f\left(x\right)\circ f\left(y\right)\right)\left(g\right)=\left(\tau_x\circ\tau_y\right)\left(g\right)=\tau_x\left(\tau_y\left(g\right)\right)=\tau_x\left(gy\right)=gyx\ =\ \tau_{yx}\left(g\right)=f\left(yx\right)\left(g\right).$ Meine Gruppe ist nicht zwingend abelsch.

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

deine Frage ist zwar schon 3 Tage alt, aber vielleicht bringt dir meine Antwort noch was. Du hast recht, es gilt nicht zwingend

t(a) o t(b) (g) = t(ab) (g)

Die Lösung liegt darin, die Verknüpfung in S(G) geeignet zu definieren.

Gruß

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium