Mengenbeweise
ich habe mit einem fernstudium begonnen und muss aufgaben in mathematik lösen, doch in meinen skripten steht keine genau vorgehensbewéise bzw. wie man anfängt Mengen zu beweisen. ich habe eine Mengengleichung z.b. (M geschnitten N) vereinigt L = (M vereinigt L) geschnitten (N vereinigt L) Wie gehe ich daran ?
6 Antworten
Ich definiere jetzt mal u als "vereinigt" und n als "geschnitten". Dann gilt:
(M n N) u L = (M u L) n (N u L). Der formale Beweis geht so vor: Zunächst zeigst du, dass die Linke Seite Teilmenge der rechten Seite ist. d.h. du nimmst dir ein beliebiges x aus der linken Menge und zeigst, dass es in der rechten Menge enthalten sein muss (das ist die Definition von Teilmengen... A ist Teilmenge von B genau dann, wenn für jedes x aus A gilt: x ist aus B).
Anschließend zeigst du, dass auch die rechte Seite eine Teilmenge von der linken sein muss.
Wenn A Teilmenge B und B Teilmenge A, so sind die beiden Mengen gleich.
Ich mach dir mal nen Anfang:
Sei x aus (M n N) u L
=> x aus (M n N) oder x aus L
=> (x aus M und x aus N) oder x aus L. Wenn du die Distributivgesetze der Aussagenlogik verwenden kannst, ist der Rest ziemlich einfach... wenn nicht, empfehle ich eine Fallunterscheidung ;)
Erstmal musst du nur eine Gleichheit zeigen. Ich fahr mal mit meinem Anfang fort:
(x aus M und x aus N) oder x aus L.
Fall 1: Sei x aus L.
=> x aus L und x aus L (das ist trivial, du siehst aber gleich, warum ich das mache)
=> (x aus M oder x aus L) und (x aus N oder x aus L)
=> (x aus M u L) und (x aus N u L)
=> x aus (M u L) n (N u L).
Fall 2: Sei x nicht aus L. Dann muss x aus M und x aus N gelten.
=> (x aus M oder x aus L) und (x aus N oder x aus L)
=> ...
=> x aus (M u L) n (N u L).
Damit haben wir gezeigt, dass die linke Menge eine Teilmenge der rechten Menge ist.
Wenn man das entsprechend umgekehrt macht, also ein x aus der rechten Menge schnappt und zeigt, dass es auch in der linken Menge ist, hast du die Gleichheit gezeigt.
Das kommt immer darauf an, was dir als "anzunehmen" gestattet wird. Typisches Problem der Grundlagenmathematik, später stellt man sich die Frage nicht mehr.
Im Normalfall führt man derartige "Beweise" darüber, dass man die Mengenformel auf eine aussagen- bzw. prädikatenlogische Formel zurückführt. Bei dem Beispiel ergibt sich die Mengenäquivalenz direkt über das Distributivgesetz der Aussagenlogik.
Heißt:
- x in der linken Seite genau dann, wenn [Ausdruck]
- der [Ausdruck] ist äquivalent zu einem [umgeformten Ausdruck]
- d.h., x ist in der rechten Seite, genau dann, wenn [umgeformter Ausdruck]
Was hier im Grundstudium gewünscht ist, ist die Überführung der Mengensemantik in Aussagenlogik.
kannst du das mal an einem beispiel festmachen, aber bitte eines mit drei mengen und eventuell mit geschnitten und vereinigt ?
Geht ganz schnell:
(M geschnitten N) vereinigt L => Überführung in Aussagenlogik
= {x | (x in M and x in N) or x in L}
(Distributivgesetz der Aussagenlogik)
= { x | (x in M or in L) and (x in N or x in L)} => Das wieder zurück in Mengenalgebra
= (M vereinigt L) geschnitten (N vereinigt L)
Mehr ist es nicht; das war's.
Grundprinzip bei der Konvertierung zwischen Mengen- u. Aussagenlogik:
- Vereinigung ist OR
- Schnitt ist AND
- Als Bonus ;-): Negation/Gegenmenge ist NOT
youtube fach thema eingeben, drauf achten wer veröffentlicht und sehr gute Seiten finden.
Jo. Telekolleg ist auf youtube.
Gin mal
geometrie mengenbeweise
gehe auf das eine oder andere Video, achte darauf, welche weiteren Videos vorgeschlagen werden, finde so mindestens zwei sehr nützliche Seiten die Dich durchs Studium begleiten können.
sollst du einen allgemeinen Beweis führen oder ein Beispiel geben, dass es so ist?
das kannst du am besten mit einer Wahrheitstabelle aus Thema Logik beweisen; geschnitten=und
vereinigt=oder
und wie bringe ich das ganze mit der echten seite in verbindung ? ich muss ja eine äquvilalenz zeigen !