Mathematik olympiade?
Ich bereite mich gerade auf die 3. Runde der Mathematikolympiade für die 10. Klassen vor und mache deshalb alte Übungsaufgaben
Gegeben seien acht gleich aussehende Münzen, sieben echte und eine Fälschung. Die Fälschung unterscheide sich dabei von den echten Münzen lediglich im Gewicht. Weiterhin seien acht in einer Reihe liegende Positionen gegeben, auf die wir diese Münzen in zufälliger Weise platzieren. Eine Prüferin, die den Vorgang des Platzierens nicht beobachten kann, soll nun durch Wiegen die Fälschung ermitteln. Ihr steht dazu eine elektronische Küchenwaage als Hilfsmittel zur Verfügung. Das Gewicht von echten Münzen ist der Prüferin bekannt.
Unter a) wird ein erstes Prüfverfahren vorgestellt, in c) und d) folgen zwei weitere. Der Prozess des zufälligen Platzierens und des Prüfens zum Ermitteln der Fälschung wird im Folgenden für jedes der drei Prüfverfahren insgesamt 2000-mal durchgeführt. Es soll dabei von der vereinfachten Annahme ausgegangen werden, dass dabei die Fälschung an jeder möglichen Position in jeweils 2000 : 8 = 250 Prüfvorgängen zu liegen kommt.
a) Im ersten Prüfverfahren wiegt man die Münzen der Reihe nach, bis ermittelt ist, an welcher Position sich die Fälschung befindet. Danach erfolgen keine weiteren Wägungen. Bei wie vielen (von den 2000) Prüfvorgängen hat die Prüferin spätestens nach der dritten Wägung die Fälschung ermittelt?
b) Wie viele Wägungen insgesamt werden von der Prüferin im Verlauf der 2000 Prüfvorgänge durchgeführt?
c) Im zweiten Prüfverfahren wiegt man zunächst die ersten vier Münzen zusammen und stellt fest, ob sich die Fälschung unter ihnen befindet. Danach verbleiben vier Münzen (entweder die ersten oder die letzten vier), die man nun einzeln der Reihe nach (wie in Teilaufgabe a)) überprüft. Wie viele Wägungen werden diesmal im Verlauf der 2000 Prüfvorgänge durchgeführt?
d) Gibt es ein Prüfverfahren, das bei 2000 Prüfvorgängen mit weniger Wägungen auskommt als das in c) beschriebene Verfahren? Die Antwort ist zu begründen!
Aber ich glaube, da mir die Aufgabe (zumindestens a-c) zu einfach vorkommt, dass ich etwas falsch mache, weil das quasi Grundschulmathe ist.
Meine Lösungen:
a) 3*250 = 750
b) 2000 + 1750 + 1500 = 5250
c) 2000 + 2000 + 1750 + 1500 = 7250
aber die Methoden von a) und c) zu vergleichen macht keinen Sinn, da man bei einer aller und bei der anderen nur 3/8 herausfindet.
Pls help, hab da wahrscheinlich einen großen denk fehler
1 Antwort
a) korrekt: wenn die Fälschung gemäß Vorgabe jeweils 250-mal an jeder der acht Positionen liegt, dann liegt sie 3*250-mal an einer der ersten 3 Positionen
b) 250-mal wird einmal gezogen bis de Fälschung entlarvt ist, 250-mal zweimal, usw., also 250*1+250*2+...+250*7 = 250 * (1+2+3+4+5+6+7) = 250 * 28 = 7.000
(von 1-7 Ziehungen, weil nach der 7. Ziehung ja klar ist, ob die 7. oder 8. Münze die Fälschung ist.
c) 2000-mal wird mit 4 Münzen gewogen; dann konform zu b) 250-mal einmal, 250-mal zweimal und 250-mal dreimal, also: 2.000 + 250 + 500 + 750 = 3.500
(hat mich zwar nie beschäftigt, aber wenn das tatsächlich aus einer Matheolympiade ist, kommt mir das auch recht einfach vor...)