matheaufgabe Holzbeil?
Ich komme irgendwie nicht auf die richtige Lösung oder habe die Aufgabe falsch verstanden, von daher wäre es echt nett, wenn jemand mir einen Ansatz geben könnte... :)
Die Aufgabe: Ein neues Beil soll maschinell beschliffen werden. Damit die möglich ist, werden seine drei Randlinien durch eine quadratische Parabel und zwei Halbparabeln modelliert. Die seitlichen Halbparabeln laufen wie angedeutet horizontal aus. Wie lauten die Parabelgleichungen, bezogen auf das eingezeichnete Koordinatensystem? Unter welchem Winkel stößt die Schneide auf die Seitenkanten des Werkzeugs? Unter welchem Winkel stoßen die Seitenkanten auf den Holzstiel?
Die 2. und 3. Frage verstehe ich auch nicht wirklich von der Formulierung her. Also bei der 2. weiß ich gar nicht wirklich, was gefragt wird bzw. ich finde, die beiden Fragen sind irgendwie das Gleiche. Wäre gut, wenn mich jemand aufklären könnte.
Das Bild dazu findet ihr im Anhang.
Vielen Dank!!
1 Antwort
Hallo,
am besten wählst Du das Koordinatensystem so, daß der Scheitelpunkt der Parabel, die das Beil nach unten begrenzt, bei (0|0) liegt.
Dann trifft sie bei den Punkten (-8|6) und (8|6) auf die seitlichen Halbparabeln, die dort ihre Scheitelpunkte besitzen.
Für die untere Parabel stellst Du die allgemeine Gleichung f(x)=ax² auf und berechnest a, indem Du einen der beiden bekannten Punkte (z.B. den Punkt (8|6)) eingibst: f(8)=64a=6, also a=6/64=3/32
f(x)=(3/32)x² ist die Funktionsgleichung der unteren Schneide.
Die beiden Halbparabeln ermittelst Du über die Scheitelpunktform
g(x) und h(x)=b*(x-d)²+e
Dabei sind d und e die Koordinaten des Scheitelpunkts, der im Fall von g(x)
bei (-8|6) und im Fall von h(x) bei (8|6) liegt.
Wegen der Symmetrie ist b bei beiden Gleichungen identisch.
Also:
g(x)=b*(x+8)²+6 und h(x)=b*(x-8)²+6
b wird wieder ermittelt, indem ein bekannter Punkt eingesetzt wird.
Bei Punkt (2|14) stößt die rechte Halbparabel an den Stiel.
h(2)=b*(2-8)²+6=36b+6=14
36b=8
b=8/36=2/9
Also: h(x)=(2/9)*(x-8)²+6; g(x)=(2/9)*(x+8)²+6
Siehe beigefügtes Bild.
Um die Winkel zu ermitteln, bildest Du einfach die Ableitung an der Stelle, an der entweder zwei Parabeln zusammenstoßen, bzw. an denen jeweils eine Halbparabel an den Stiel stößt. Der Stiel hat einen Winkel von 0, weil er parallel zur x-Achse verläuft. Ebenso haben die beiden Halbparabeln an ihrem Scheitelpunkt den Winkel 0.
Du mußt also einmal die Ableitung von f(x)=(3/32)x²=(3/16)x bilden und für x
einmal 8 und einmal -8 einsetzen, um den Tangens des Winkels zu bekommen, mit der die Parabel an die Halbparabeln stößt.
Danach bildest Du die Ableitung von g(x) und h(x) und setzt für x einmal 2 (h'(x)) und einmal -2 (g'(x)) ein
Herzliche Grüße,
Willy
