Mathe: Unterschied dieser Symbole?
Ist nicht beides ein Äquivalenzzeichen? Was ist mit dem normalen "="?
2 Antworten
Das Kongruenzzeichen
stammt aus der Zahlentheorie und steht dort zwischen ganzen Zahlen: Sind m, a, b in Z, so bedeutet
dass die Differenz a - b durch m teilbar ist, d.h. in der Menge mZ der Vielfachen von m liegt. Zum Beispiel gilt
denn 38-14 = 24 = 12·2, also liegt 38-14 in 12Z.
mZ ist eine Untergruppe von (Z;+), und jede Untergruppe der abelschen Gruppe (Z;+) ist von dieser Form [wie man unschwer beweisen kann]. Mit m=0 erhält man übrigens die triviale Untergruppe {0}. Die Kongruenz "mod 0" ist nichts anderes als die Gleichheit, weil a-b genau dann ein Vielfaches von 0 ist, wenn a-b = 0 gilt, d.h. genau dann, wenn a=b gilt. (Damit ist das von dir genannte "normale =" als Spezialfall der Kongruenz erkannt: Die Gleichheit (von ganzen Zahlen) ist die Kongruenz mod 0.)
Allgemeiner als in diesem ursprünglichen Sinn verwendet man das Kongruenzzeichen bei einer gegebenen Untergruppe U einer abelschen Gruppe A: Sind a, b in A, so bedeutet dann
dass a - b in U liegt. (Wie man sofort sieht, erhält man den zuvor beschriebenen historischen Ausgangspunkt durch die Spezialisierung A = Z, U = mZ.)
Es gibt auch noch weitergehende Verallgemeinerungen für die Verwendung des Kongruenzzeichens. In jedem Fall bezeichnet es eine besondere (in der Regel: Äquivalenz-)Relation auf einer gegebenen Grundmenge. Das Kongruenzzeichen steht jedenfalls immer zwischen zwei Elementen einer gegebenen Menge.
Dagegen steht der Doppelpfeil
nie zwischen Elementen einer gegebenen Menge, sondern immer zwischen Aussagen, und drückt dann aus, dass diese gleichwertig sind; dass also die eine genau dann wahr ist, wenn die andere wahr ist. Ist zum Beispiel x eine reelle Zahl, so ist die Aussage "x ist nichtnegativ" gleichwertig zu der Aussage, dass sich x als Quadrat einer reellen Zahl schreiben lässt, also:
Die oben angegebene Definition der Kongruenz lässt sich wie folgt unter Verwendung des Doppelpfeils fassen:
Ein weiteres Beispiel: Ist p eine Primzahl, so lässt sich leicht zeigen, dass gilt:
Kurz: Das Kongruenzzeichen verbindet Terme (Elemente einer gegebenen algebraischen Struktur), das Äquivalenzzeichen dagegen Aussagen. Aussagen haben einen Wahrheitswert (wahr/falsch), Terme nicht.
Das mit den Pfeilen ist Äquivalenz. Das andere heisst sowas wie „entspricht“