Mathe problem?
Kann bitte jmd diese Aufgabe mit einem nachvollziehbaren Rechenweg lösen auf dem Niveau von 8klässlern? Es ist wirklich dringend und wir freuen uns über jede Antwort
2 Antworten
Ich bin nicht sicher, ob meine Antwort für 8-Klässler nachvollziehbar sein kann.
1) Der jenige, der in Richtung Zugende läuft, legt also 40m zurück in der Zeit
t1=Weg/Geschwindigkeit=40m/Vo.
In dieser Zeitspanne t1 hat der Zug (seine Länge sei L) sich ja weiterbewegt um die Differenz (L-40m), weil der Mensch ja das Zugende erreicht hat. Das kann man sich auch gut über eine Skizze klar machen. Wenn der Zug stehen würde, hätte der Mensch nach der Teit t1 ja noch (L-40m) vor sich. Da aber der Zug entgegengesetzt fährt, hat der Zug in der Zeit t1 die Strecke (L-40m) zurückgelegt mit der Zug-Geschwindigkeit Vz=(L-40m)/t1.
2.) Der andere Mensch läuft ja neben dem Zug her, der ihn überholt. Und er erreicht das Zugende (besser: das Zugende erreicht ihn) nach einer anderen (größeren) Zeit t2=60m/Vo (beide Menschen haben die gleiche Geschwindigkeit Vo).
Der Zug hat in dieser zeit t2 eine Strecke durchfahren, die seiner Länge entspricht (der Mensch ist ja losgelaufen als die Spitze ihn erreichte und nach t2 hat das Zugende ihn erreicht) - dazu aber noch die 60m, die der Mensch ja zurückgelegt hat - also: Zug-Geschwindigkeit ist Vz=(L+60)/t2.
3.) Jetzt nur noch rechnen:
Vz ist in beiden Fällen gleich, also: Vz=(L-40m)/t1=(L+60m)/t2.
Die Zeiten t1 und t2 sind ja auch bekannt (als Formel) und die obige Gleichung kann nach L aufgelöst werden.
4.) Das Ergebnis teile ich jetzt noch nicht mit - ist ja aber eine einfache Gleichung.
Es ist ganz nützlich, sich eine Skizze anzufertigen:
- x0 ist der Startpunkt der Läufer
- x_a und x_b die jeweiligen Endpunkte der Läufer (Läufer a, Läufer b)
- Vp ist die Geschwindigkeit der Läufer (Vpa = Vpb)
- Vz ist die Geschwindigkeit des Zuges
Das ist alles, was man dem Text entziehen kann. Nun sollte man ein paar Überlegungen anstellen. Es bietet sich an, die gesamte Durchfahrtzeit des Zuges in zwei Zeitabschnitt einzuteilen, in Δt1 und Δt2, die folgendermaßen definiert werden:
- Δt1 ist die Zeit, die die Läufer benötigen, um 40 m zurückzulegen und ist auch die Zeit, nach der der Läufer a das Zugende erreicht.
- Δt2 ist die Zeit, die der Läufer b benötigt, um den restlichen Weg von 20 m (= 60 m - 40 m) zurückzulegen. Gleichzeitig ist es die Zeit, die das Zugende benötigt, um vom Punkt x_a zum Punkt x_b zu kommen.
Aus (1) lässt sich die folgende Gleichung (Gl.1) ableiten:
Aus (2) ergibt sich für Läufer b (Gl.2) ...
...und für den Zug (Gl.3) ...
Durch Addition von Gl.1 und Gl.2 erhalten wir (Gl.4):
Durch Gleichsetzen von Gl.2 und Gl.3 erhalten wir (Gl.5):
Wir sehen also: Der Zug legt in der selben Zeit fünf mal mehr Weg zurück, er ist also fünf mal so schnell wie der Läufer.
Um nun einen Ausdruck für die Zuglänge aufzustellen, benötigen wir den Läufer a eigentlich nicht mehr. Wir betrachten nur, was der Zug und Läufer b macht.
In unserem Szenario ist der Läufer b 60 m weit gelaufen in einem definierten Zeitabschnitt (= Δt1 + Δt2). In der gleichen Zeit ist der Zug einmal komplett an Startpunkt x_0 vorbei gefahren und noch ein Stückchen weiter (60 m um genau zu sein). Wir können nun anhand dieser Zeit und der Geschwindigkeit des Zuges eine Länge bestimmen, die wir jedoch um 60m korrigieren müssen, damit wir die richtige Länge des Zuges erhalten.
Setzen wir nun Gl. 5 in Gl. 4, und diese Gleichung dann in unsere letzte Gleichung ein, so erhalten wir: l_z = 300 m - 60 m = 240 m.
(Angenommen, es gäbe keine Läufer sondern nur eine Person, die mit einer Stoppuhr die Zeitdifferenz am Punkt x0 misst. Diese Person würde beim Eintreffen der Zugspitze auf Start und beim Eintreffen des Zugendes auf Stopp drücken. So ließe sich mithilfe der Geschwindigkeit des Zuges dessen Länge bestimmen.)
Also für ne 8. Klasse ist das schon recht anspruchsvoll...
