Mathe: Läufer A hat 100 m Vorsprung, Läufer B ist doppelt so schnell - kann B A überholen?
Läufer A hat 100 m Vorsprung, Läufer B ist aber genau doppelt so schnell wie A. Wenn B nach 100 m den Startpunkt von A erreicht hat, ist A schon 50 m weiter. Wenn B diesen neuen Startpunkt von A erreicht, ist A aber schon 25 m weiter. Der Abstand halbiert sich ständig - aber wann wird B den Läufer A überholen? Klar, aus "Lebenserfahrung" ist B irgendwann an A vorbei - aber rein rechnerisch ... was übersehe ich? Danke für jede Antwort!
7 Antworten
Hallo,
trotz "Lebenserfahrung" ist - rein rechnerisch - immer ein, wenn auch kleiner, Vorsprung vorhanden. Auf der anderen Seite kann der Hintere seinen Vordermann auch schubsen.
Man kann das Ganze auch anders angehen, indem man lineare Gleichungen aufstellt. Dafür muss man aber annehmen, dass die Geschwindigkeit der beiden gleich bleibt.
Läufer 1 beginnt am Startpunkt 50m. Die Steigung, welches die Geschwindigkeit darstellt, ist relativ egal, hauptsache, die von Läufer 2 ist doppelt so groß. Also:
f(x) = x + 50
(x = Zeit, y = Strecke)
Läufer 2 beginnt bei Startpunkt 0m, hat aber die doppelte Geschwindigkeit.
g(x) = 2x
Nun müsste man eigentlich nur den Schnittpunkt der beiden Läufer errechnen, dann weiß man, wann Läufer 2 den Läufer 1 überholt.
f(x) = g(x)
x + 50 = 2x
50 = x
Nach 50 Zeiteinheiten überholt Läufer 2 also Läufer 1.
f(x) = 2 * 50
f(x) = 100 [m]
Dadurch ist rechnerisch erwiesen, dass beide Läufer nach 50 Sekunden gleich auf sind (nach 100m).
Es ist übrigens egal, welche Steigung man nimmt, solange Läufer 2 doppelt so schnell ist, wie Läufer 1. Nur die Zeit ändert sich.
Bsp:
f(x) = 2x + 50
g(x) = 4x
2x + 50 = 4x
x = 25
g(25) = 4 * 25 = 100 [m]
Es bleibt also immer gleich.
Der letzte Satz von meiner ersten Antwort ist übrigens inkorrekt (konnte es nicht mehr ändern):
Zum einen sind es 50 Zeiteinheiten, nicht Sekunden und zum anderen gilt diese nur für die vorgegebenen Geschwindigkeiten von 1 bzw. 2. Man könnte es auch allgemein schreiben mit Variablen:
f(x) = ax + 50
g(x) = 2ax
Dann ergibt sich:
ax + 50 = 2ax
50 = ax
50/a = x
Das a kürzt sich bei beim einsetzen nun wieder raus.
g(50/a) = 2a * 50/a = 100 [m].
Hallo knodomar,
hier sieht man, wie die Wissenschaft oft 'falsche' Realitäten vorgaukelt. Mathematisch liegt es daran, dass die Halbierung zu keinem Ergebnis mit Null führt, sondern in unendliche Dezimalwerte mündet.
MfG Fantho
Zu Beginn seien B bei 0m und A bei 100m.
Wenn B bei 0 m ist, dann ist A bei 100m.
Wenn B bei 100m ist, dann ist A bei 150m.
Wenn B bei 150m ist, dan ist A bei 175m.
Wenn B bei 175m ist, dann ist A bei 187.5m.
..... Das setzt man nun unendlich fort.
Soweit ist das alles richtig. Falsch ist es jedoch, daraus zu schlussfolgern, dass A immer einen Vorsprung vor B hat. Man muss sich die Entfernungen von B bei den einzelnen Denkschritten ansehen: 0m, 100m, 150m, 175m,... Die Entfernung bis zu 200m wird immer halbiert. Selbst wenn man die Denkschritte unendlich fortsetzt, wird man niemals zu einer Aussage "Wenn B bei xxx ist, dann ..." gelangen, bei der die Entfernung xxx 200m oder größer ist.
Aus der Überlegung kann man also nur schlußfolgern, dass A einen kleinen Vorsprung hat, solange B noch keine 200m zurückgelegt hat. Diese Schlußfolgerung ist völlig korrekt.