Mathe Koordinatengleichungen/ Ebenen?
- warum muss bei einer koordinatengleichung mindestens einer der koeffizienten ungleich null sein?
- Begründe: Unterscheiden sich die Koordinatengleichungen der Form ax1+bx2+cx3=d von zwei ebenen nur in der Konstanten d, dann sind die Ebenen zueinander parallel
3 Antworten
Warum mindestens ein Koeffizient ungleich null sein muss:
Wären alle Koeffizienten Null, hättest du eine Gleichung ohne x, y und z. Was ist das dann? Eine Gleichung ohne Variablen! Das ist dann keine Ebene mehr, sondern nur eine wahre oder falsche Aussage à la 1=1
Warum sie parallel sind, wenn sie sich lediglich in d unterscheiden: Die Koeffizienten von x, y, z sind die jeweilige Steigung. Diese bestimmen, wie die Ebene im Raum liegt. Das d bestimmt nur noch die "Höhe" der Ebene, also wo sie liegt. Sind die Koeffizienten gleich, ist auch die Richtung der Ebene gleich, also sind sie parallel.
Angenommen die besagten Ebenen haben mindestens einen Punkt (x,y,z) gemeinsam.
Dann ist
ax + by + cx = d1
und
ax + by + cx = d2
Also
d1 = d2
Das ist aber im Widerspruch zur Annahme d1 ≠ d2
Daher können die beiden Ebenen eben keinen Punkt gemeinsam haben: sie sind also per Definition parallel.
1) 0=d ist keine Ebene
2) wenn sie sich nur in d unterscheiden, dann haben sie beide den gleichen Normalenvektor (a,b,c) und sind somit parallel.