Mathe; Beweistechnik, basierend auf der Implikation?
Kann mir jemand erklären, weshalb die Annahme getroffen wird p und q enthält Faktor 2? Bzw. ich weiss, dass man damit sagen will, dass die Zahl eine Gerade Zahl sein sollte, die immer weiter gekürzt werden kann.
Aber wie kommt man von z.B. p^2 = 2q^2 auf Faktor 2 für p?
3 Antworten
Wenn a eine Ganze Zahl ist, dann ist a^2 genau dann wenn gerade, wenn a gerade ist.
2q^2 ist gerade, also ist p^2 gerade, somit ist p auch gerade.
"dann ist a^2 genau dann wenn gerade, wenn a gerade ist." .... das ist nicht völlig trivial, da muß man schon mal 3 Sekunden drüber denken.
Wie kommt man von p^2 = 2q^2 auf Faktor 2 für p ??
p² ist eine gerade Zahl. Eine gerade Quadratzahl kann immer nur das Quadrat einer geraden Zahl sein.
(((Wenn dies das nicht klar ist, dann mußt du das noch extra mal beweisen, das geht wieder durch Wiederspruchsbeweis:
Annahme: sei a ungerade und a*a sei gerade. Dann ist a*(a-1) das Produkt einer geraden und einer ungerade Zahl. So ein Produkt ist immer gerade. Also ist a*(a-1)+a ungerade, denn eine Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Aber a*(a-1)+a = a² -a+a = a² , was ja ein Widerspruch zur obigen Annahme ist.
Damit ist meine obige Aussage beweisen.))))
Eine gerade Quadratzahl kann immer nur das Quadrat einer geraden Zahl sein. Ist nur eine andere Formulierung für "in p steckt der Faktor 2"
p^2 = 2q^2 auf Faktor 2 für p
das folgt aus der Erkenntnis, das p^2 offensichtlich gerade sein muss.
Sei eine beliebige gegebene Zahl gerade, z=2a, dann ist das Quadrat dieser Zahl z^2 auch gerade, da z^2=(2a)^2=4a^2, also gerade. Und in einer geraden Zahl steckt immer der Faktor 2.