Mathe, beweise?
Also wir sollen als Mathematik-Hausaufgabe x,y,z bestimmen für die die Gleichung:
x²+y²+z²-xy-yz-zx=3
Erfüllt. Man soll dazu die Richtigkeit des Ergebnisses beweisen. Hab's schon mit Ableitungen versucht aber es nicht hinbekommen, kann mir jemand helfen? Bin offen für alle Lösungsvorschläge ( bitte mit Erklärung wenn möglich). Dankeschön
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
x² + y² + z² - xy - yz - zx = 3
lässt sich umformen zu:
(x - y)² + (y - z)² + (x - z)² = 6
d.h., bereits alle Kombinationen von
x - y = 1
y - z = 1
x - z = 2
führen zu Lösungen. Und dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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Die Gleichung (x - y)² + (y - z)² + (x - z)² = 6 passt, wenn (x - y)² = 1² und (y - z)² = 1² und (x - z)² = 2² ist, dann kommt 6 heraus. Daher die 3 Gleichungen, die deutlich machen, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Maxi170703/1631529279423_nmmslarge__0_108_236_235_7ff67a8b22f8a25ca8beae07cf28d5bd.jpg?v=1631529280000)
Wir haben hier eine Quadrik. Zur Lösung würde sich also vermutlich Hauptachsentransformation anbieten. Am besten schreibst du die Aufgabe also in Matrixschreibweise, also x^T*A*x+b^T*x+c = 0, diagonalisierst dann die Matrix A, setzt y = b^T*x und d = B^T*b wenn D, die Diagonalmatrix = B^-1*A*B. Dann hast du y^T*D*y+d^T*y+c = 0. Dann eliminierst du den linearen Anteil mittels quadratischer Ergänzung. Heraus kommt ein elliptischer Zylinder
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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Guck dir am besten ein Video zur Hauptachsentrafo an. Oder du multiplizierst einfach mal x^T*A*x + b^T*x + c aus und arbeitest mit Koeffizientenvergleich.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/eterneladam/1673990853932_nmmslarge__0_0_3023_3024_b3ab443b0f60481e81ea92643ef07370.jpg?v=1673990854000)
x=1, y=2, z=3, aber das ist nur auf die Schnelle geraten.
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Wie kommst du darauf? Also es ist richtig aber hä
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![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Najaaa iwie musstest du es ja oder nur durch ausprobieren
Wie kommst du bei Gleichungssystem zu ...=1 und ...=2???