Mathe- N, Q+, Q, R
Hallo, ich bin gerade am Mathe lernen und habe folgendes noch nicht ganz verstanden: Es gibt N (natürliche Zahlen, also 0,1,2,3,4...), Q+ (Bruchzahlen, nichtnegative rationale Zahlen), Q (Rationale Zahlen) R (reelle Zahlen). Ich zitiere mein Mathebuch: ,,N ist in Q+ enthalten; Q+ ist in Q enthalten und Q ist schließlich in R enthalten." Ist Q+ jetzt also z..B 1/4 (/ soll der Bruchstrich sein) UND 0,25? Was sind rationale Zahlen? Ist R alles, also + und -,(negative u. positive) Brüche, (negative und positive) Dezimalzahlen, Zahlen mit Periode? Könntet ihr mir für alles noch mal ein paar Beispiele nennen? Ich habe schon total lange im Internet gesucht, aber diese Fragen blieben mir noch. Danke im Vorraus
5 Antworten
Stimmt alles.
Zur weiteren Klärung: Die jeweils größere Zahlenmenge erlaubt, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt durchzuführen. So ergibt das irgendwie einen Sinn...
Was natürliche Zahlen (Menge N) sind, weiß sozusagen jedes Grundschulkind, und du sowieso. Die streng mathematische Definition (Peano-Axiome) ist viel schwerer... erspare ich uns hier.
In deiner Listen fehlt noch die Menge der ganzen Zahlen (Menge Z). Das sind die natürlichen Zahlen sowie entsprechende negative. Vorteil: Ganze Zahlen lassen sich uneingeschränkt addieren und subtrahieren. Das Ergebnis der Aufgabe " 3 minus 5" ist keine natürliche Zahl, aber eine ganze. - Umgekehrt ist aber jede natürliche Zahl eine ganze.
Als nächstes kommen die Brüche = rationale Zahlen (Menge Q wie "Quotient"). Zähler und Nenner eines Bruchs ist eine ganze Zahl. Hier lässt sich unbegrenzt teilen - außer durch 0. Das Ergebnis von Aufgaben wie z.B. "3 dividiert durch 5" oder " -2/3 dividert durch 8/7" ist eine rationale Zahl, aber keine ganze. - Umgekehrt ist aber jede ganze Zahl eine rationale. Deswegen kann jede ganze Zahl mit dem Nenner "1" als Bruch geschrieben werden, z.B. "-5 = -5/1" (lies "minus fünf Ein-tel" oder auch "fünf Ganze").
"0,25" und "1/4" sind nicht zwei Zahlen, sondern zwei Schreibweisen für dieselbe (rationale) Zahl. Sie bezeichnen dasselbe Element der Menge Q. Wenn wir im alten Ägypten wären, hätten wir wieder ein ganz anderes Zeichen für dieselbe Zahl.
Eine Dezimalzahl ist genau dann ein Bruch, wenn sie endlich viele Stellen hat oder aber periodisch ist (und unendlich vielen Stellen hat).
Q+ ist eine Teilmenge von Q, wenn (z.B. für eine praktische Anwendung) nur positive Zahlen verwendet werden sollen, aber die "bequemen" Divisionsmöglichkeiten genutzt werden sollen, die z.B. die natürlichen Zahlen nicht bieten.
Nun gibt es noch Zahlen, die sich nicht als Brüche darstellen lassen. Bekannte Beispiele sind die Kreiszahl π ("pi") und die Quadratwurzel aus 2. Die lassen sich auch nicht exakt als Dezimalzahl darstellen, denn sie haben unendlich viele Stellen, aber keine Periode. - Was ein Taschenrechner als "pi" ausgibt, ist nur eine Näherung von pi, denn der Taschenrechner hat nur endlich viele Stellen. Weil es keine Periode gibt, lassen sich die folgenden Stellen nicht ohne Weiteres dazudenken.
Die nächstgrößere Zahlenmenge, die außer den rationalen Zahlen auch noch alle diese seltsamen Nicht-Brüche zusätzlich umfasst, sind die reellen Zahlen (Menge R). Neu Rechenmöglichkeit in der größeren Menge: Die Wurzel aus jeder nicht negativen reellen Zahl ist wieder eine reelle Zahl - auch wenn diese Wurzel nicht rational ist. Außer Wurzelziehen gibt es noch andere Rechenoperationen, die bei reellen Zahlen uneingeschrängt klappen, aber bei rationalen nicht, wie z.B. die Wurzel aus 2. - Auch hier: Zwar ist nicht jede reelle Zahl rational, aber jede rationale ist reell.
- ...und was ist nun mit den Wurzel aus negativen Zahlen? Die sind zwar nie reell, aber du ahnst es schon, da gibt es die nächstgrößere Zahlenmenge. Aber ich will dich nicht verwirren.
Q+ sind (zumindest in Österreich) nur positive Zahlen, weswegen N (eine Menge, die 0 beinhaltet) doch eigentlich nicht in Q+ enthalten sein dürfte, oder?
Achja, eine simplere Definition der reelen Zahlen wäre: Alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Sprich: Q und I (irrationale Zahlen, z.B. pi)
Aber 0 ist neutral. Weder negativ noch positiv. Also müsste der Satz eigentlich stimmen. Mein Mathebuch lügt nicht ;)
Im Prinzip hast du doch alles verstanden. 1/4 ist ja zugleich auch 0,25... In Q sind eben nicht nur Brüche enthalten sondern auch alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen...
Auf Wikipedia ist das aber eigentlich alles sehr gut erklärt: http://de.wikipedia.org/wiki/Zahlenbereich#Zahlbereiche
Lass dich von dem mathematischen Geplänkel in dem Artikel nicht abschrecken; das meiste davon kannst du einfach überlesen.
Dann lies es doch im Lexikon nach. Die Definitionen dort ist sicher auch sehr verständlich.
Im Prinzip hast du's ja eh schon kapiert...
Ja, ja, und nochmals ja! Du hasts doch kapiert!
Mhm... Ich denke, die natürlichen Zahlen N hast du verstanden. Ich füge eine neue Menge ein, die man Z nennt. Das ist die Menge aller ganzen Zahlen. Diese beinhaltet alle natürlichen Zahlen sowie das Produkt jeder natürlichen Zahl mit (-1). Also ist Z gerade die Menge, die die Zahlen 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 usw beinhaltet.
Nun zu Q... Q ist die Menge aller Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben lassen, also 1/2, 3/4, 5/3, 16/4, -5/8, 1/(-5) und was es noch so alles gibt. Natürlich ist 1/4 in Dezimaldarstellung nichts anderes als 0,25; also ist 0,25 ebenfalls eine rationale Zahl.
Auch 1/3 = 0,33333.... Ist eine rationale Zahl, denn sowohl der Zähler als auch der Nenner sind ganze Zahlen.
Q+ ist die Menge aller rationalen Zahlen, die positiv sind. Also liegt 1/3 zwar in Q+, aber -1/3 nicht.
R ist eine ziemlich komplizierte Menge... Sie beinhaltet alle rationalen Zahlen sowie all jene, die sich eben NICHT als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Bekannte Beispiele dafür sind die Kreiszahl Pi, die Eulersche Zahl e sowie die Wurzel aus 2. Diese Zahlen nennt man auch irrational. Alle irrationalen Zahlen haben in Dezimaldarstellung unendlich viele Nachkommastellen, sind aber nicht periodisch.
Danke! :) Aber ich kann Wikipedia einfach nicht leiden. Bin eh schon so ein Mensch der lieber im Lexikon nachschaut. Irgendwie traue ich Wikipedia nicht.