Lösungsansatz für die Herleitung der Cramerschen Regel/Regel von Sarrus 3x3 LGS?

Die Cramersche Regel eines quadratischen LGS (2x2) habe ich bereits hergeleitet. Doch wie gehe ich bei 3x3 vor? Mein Lösungsansatz:

-I+2*II-III

Natürlich noch das entsprechende dazu multiplizieren. Aber mit dem Faktor 2 komme ich dann später nicht mehr klar. Könnte man mit diesem Lösungsansatz aber auf die Cramersche Regel für 3x3 kommen? Wenn nicht, könnte mir jemand einen Lösungsansatz geben?

Answer 1

[Roach5]

Ich denke, das Gleichungssystem allgemein zu lösen ist sehr umständlich, du solltest lieber die allgemeine Cramersche Regel für beliebiges n herleiten, die nur mit der Definition der Determinante klarkommt. Ich würde es dir gerne selbst beweisen, aber da gutefrage.net immernoch kein LaTeX/MathJax für Mathematische Textformatierung eingefügt hat, werde ich einen Teufel tun, jetzt hier Matrizengleichungen reinzuquetschen:

http://www.maa.org/sites/default/files/FriedbergCMJ8856696.pdf

Beweis ist sehr kurz und sehr elegant, aber dafür nicht sehr intuitiv.

Die Regel von Sarrus lässt sich sehr einfach herleiten, wenn du die Leibniz-formel der Determinante kennst (und verstehst). Die symmetrische Gruppe S3 hat genau 6 Elemente, die dir jeden Summanden geben, drei davon sind ungerade Permutationen und drei sind gerade, diese entsprechen den negativen bzw. positiven Summanden in der Sarrus-darstellung.

LG