Herleitung der Cramerschen Regel

2 Antworten

AnonyJS
30.06.2016, 18:48

Für 2x2 ganz easy, bei 3x3 wird es kniffliger. Ich hoffe ich kann nach 5 Jahren noch interessierten helfen.

Der Lösungsansatz besteht darin ein allgemeines 2x2 LGS mit dem Additionsverfahren aufzulösen.

Also:

l k1*x+k2*y=h

ll k3*x+k4*y=u

1.) l * k3

2.) ll *  -k1

3.) ll´ + l´ oder l´ + ll´

Dadurch ergibt sich:

k3*k2*y-k1*k4*y=k3*h-k1*u

y*(k3*k2-k1*k4)=k3*h-k1*u

y=(k3*h-k1*u)/(k3*k2-k1*k4)

Rechnerisch umdrehen: (a-b)/(c-d)=(b-a)/(d-c); a*b=b*a

y=((k1*u-k3*h)/(k1*k4-k3*k2))

Wenn man nach x auflösen würde, kommt das heraus:

x=((k4*h-k1*u)/(k1*k4-k3*k2))

Es fällt das das der Nenner in beiden Fällen gleich ist.

Betrachtet man die Koeffizientenmatrix:

(k1 k2)

(k3 k4)

So sieht man das das Kreuzprodukt dieser Matrix gleich der Nenner ist.

Sprich: links oben mal recht unten minus links unten mal rechts oben

Das bezeichnen wir ab sofort als Determinante. Wir schreiben entweder:

lk1 k2l

lk3 k4l

= k1*k4-k3*k2

oder:

 dt (k1 k2)

     (k3 k4)

= k1*k4-k3*k2

Somit wäre die Determinante eingeführt.

Doch funktioniert das auch mit den Zähler?

Es fällt auf, wenn man Dx raus bekomme will, man lediglich die Spalte in der sich x befindet den "Lösungsspaltenvektor" einsetzt und das gleiche wie vorhin macht.

Dx = lh k2l

         lu k4l

= h*k4-u*k2

So ebenfalls für Dy:

Dy = lk1 hl

         lk3 ul

= k1*u-k3*h

Somit kann man allgemein schreiben:

x=Dx/D

y=Dy/D

Damit wäre die Determinante eingeführt, so wie die Cramersche Regel hergeleitet.

Für einen Beweis Buchstaben verwenden und x, sowie y nach der Cramerschen Regel definieren und in das LGS einsetzen und schauen ob h und u herauskommen.

Für 3x3 kannst Du es mal selbst ausprobieren, dabei ist Konzentration erfordert, werden viele Buchstaben.