Linearkombination von 3 Vektoren?
Ich hab hier noch eine Aufgabe zur Linearkombination gefunden:
Prüve ob der Vektor v = (5,3,2,1) eine Linearkombination von a = (1,0,2,0), b = (3,-1,1,1) und c = (1,4,0,-2) sind.
Wie muss ich in dem Fall vorgehen? Ich könnte mir vorstellen, ein LGS mit abc = v aufzustellen, aber wie würde die Aufgabe komplett aussehen? Mit Lösung wäre wie immer Nett, damit ich das nachvollziehen kann und ein richtigs Ergebnis habe^^
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Eine Linearkombination dieser Vektoren sieht so aus:
v=k·a+l·b+m·c
In einzelne Zeilen notiert:
I: 5=k+3l+m
II: 3= -l+4m
III: 2=2k+l
IV: 1= l-2m
Dieses Gleichungssystem lösen → wenn es eine Lösung gibt, dann ist v eine Linearkombination von a,b und c.
Da ich mit Matrizen und höherdimensionalen Vektoren nicht soviel am Hut habe, bin ich nicht 100%ig sicher, dass es so funktioniert.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Die drei gegebenen Vektoren mit jeweils einer noch unbekannten Variablen addieren und mit dem Vektor gleich setzen und dann schauen, ob du eine Lösung für die Variablen findest:
m*a+n*b+x*c=v
und m,n,x mit nem LGS versuchen zu finden
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
mit den gegebenen ortsvektoren der 3 punke eine ebene austellen. dann prüfen ob der punkt auf der ebene liegt.