Linearfaktorzerlegung ausklammern?

Hey,

Ich lerne grade für eine Mathearbeit und wir sollen die folgende Funktion in Linearfaktordarstellung aufschreiben:

f(x) = 2x^3 -6x^2 -66x +70

Die Lösungen im Buch haben keinen Rechenweg, und ich wüsste nicht wie ich auf die Lösung kommen soll.

Würde mich über jegliche Art von Hilfe freuen

Danke im Vorraus :)

Answer 1

[Applwind]

$f\left(x\right)\ =2x^3-6x^2-66x+70$ $2x^3-6x^2-66x+70\ =\ 0$ $Fuer\ x\ =1\ gilt\ :\ 2\cdot1^3-6\cdot1^2-66\cdot1+70\ =2-6-66+70\ =0$ $\left(ax^2+bx+c\right)\cdot\left(x-1\right)\ =\ 0$ $ax^3-ax^2+bx^2-bx+cx-c\ =\ 0\$ $ax^3+x^2\left(b-a\right)+x\left(c-b\right)-c\ =\ 0$ $b-a=-6$ $c-b\ =-66$ $c=-70$ $-70-b\ =-66\ <--->\ -b\ =4\ <--->\ b\ =-4$ $-4-a=-6\ <--->\ -a\ =-2\ <-->\ a\ =2$

$\left(2x^2-4x-70\right)\cdot\left(x-1\right)\ =\ 0$ $x^2-2x-35\ =\ 0$ $\left(x^2+5x-7x-35\right)\ =0$ $\left(x\cdot\left(x+5\right)-7\left(x+5\right)\right)$ = 0 $\left(x-7\right)\cdot\left(x+5\right)\ =0$

$f\left(x\right)\ =\ 2\cdot\left(x-1\right)\cdot\left(x+5\right)\cdot\left(x-7\right)$

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.

Answer 2

[KoljaTheProton]

Hey Crashiii,

f(x) = 2x^3 - 6x^2 - 66x + 70

Als erstes die 2 Ausklammern:

f(x) = 2(x^3 - 3x^2 - 33x + 35)

Jetzt das Theorem über rationale Nullstellen für x^3 - 3x^2 - 33x +35 anwenden:

= (x-1)* x^3 - 3x^2 -33x +35/x-1

= x^2 - 2x -35

Faktorisieren:

= (x-1)(x+5)(x-7)

Das Ergebnis lautet also:

f(x) = 2(x-1)(x+5)(x-7)

Mit freundlichen Grüßen,

Kolja

Answer 3

[YStoll]

Die Linearfaktoren zu kennen ist gleichbedeutent damit, die Nullstellen zu kennen.

Weißt du, wie man die NST einer Funktion dritten grades bestimmen kann? (zumindest in bestimmten Fällen, dieser ist so einer)

Comments

[Crashiii]

Ich habe halt immer bei x^3 das x ausgeklammert aber das geht bei dieser ja nicht da man dann 70/x hat.

[Tannibi]

@Crashiii

Das geht nicht, wenn ein Term kein x enthält.

[Crashiii]

@Tannibi

Das ist mir bewusst. Deswegen bräuchte ich einmal den Rechenweg vorgerechnet

Answer 4

[Tannibi]

Eine Lösung ist x=1, dann Polynomdivision durch (x-1). Die anderen sind dann -5 und +7.

Comments

[Crashiii]

Kannst du mir den Rechenweg erklären

Answer 5

[Ellejolka]

zuerst jeden Term durch 2 teilen und dann

https://www.youtube.com/watch?v=SQx0WMkmpw8&t=128s