Ist mein Ansatz in Stochastik richtig?
Guten abend, ich komme hier nicht weiter :
Ein amerikanischer Dopingexperte machte 2012 eine drastische Aussage in Bezug auf die olympischen Spiele: etwa 60 % aller Athleten sind gedopt.
Der Athlet soll die Frage beantworten: stimmt es, dass sie im Wettkampf oder im Training Dopingmittel benutzt haben?
Die Antwort soll er nach folgender Regel geben: aus einer Urne mit vier roten, zwei schwarzen und drei weißen Kugeln zieht der Athlet zunächst unbeobachtet eine Kugel. Ist sie rot, beantwortet er die Frage mit Nein, ist sie schwarz mit Ja. Zieht er eine weiße Kugel, so antwortet er wahrheitsgemäß (mit Ja oder Nein)
Von 3010 getesteten Athleten Antworten 1093 mit Ja.
Stellen Sie das Testverfahren mit Hilfe eines baumdiagramms dar und ermitteln Sie daraus den Anteil der gedopten Athleten.
Mein Ansatz:
Ich habe bei ja 2/9 und bin somit mit der gesamtanzahl auf 696 schwarze Kugeln, also ein Ja gestoßen.
3/9 sind weiß, also ein vielleicht. Hiermit bin ich auf 1003 gekommen. Ist es nun richtig 1093 - 669 zu rechnen und somit auf mindestens 424 gedopte Athleten zu kommen oder muss man irgendwie berücksichtigen, dass die Athleten, die eine schwarze ja-Kugel gezogen haben und demnach mit ja antworten mussten, auch gedopt sein können?
Vielen Dank im voraus
1 Antwort
4 rot -> nein
2 schwarz -> ja
3 weiß -> vielleicht
Reicht dir das bereits als Angabe?
4 / 9 der Gesamtstimmen kannst du vom Nein-Teil abziehen (rote Kugeln)
2 / 9 der Gesamtstimmen kannst du vom Ja-Teil abziehen (schwarze Kugeln)
Die verbleibenden Stimmen sind die weißen Kugeln.
Also: 3010 - 4/9 - 2/9 = 3/9 * 3010 -> 1003,33333 vielleicht Stimmen
2/9 * 3010 garantierte Ja Stimmen = 668,888889
1093 - 668,88889 = 424,11111
424,11111 / 1003,33333 = 0,4227 = 42,27%
Gerade einmal 42,27% sind demnach wahrheitsgemäß gedopt und nicht wie oben behauptet 60%.
Fazit: Du hast richtig gerechnet (ein paar Rundungsdifferenzen fehlen aber)!
Was deine andere Frage angeht:
Oder muss man irgendwie berücksichtigen, dass die Athleten, die eine schwarze ja-Kugel gezogen haben und demnach mit ja antworten mussten, auch gedopt sein können?
Man könnte ja auch argumentieren, dass ja auch einige bei den schwarzen Stimmen dabei sein werden, die gedopt sind. Die Wahrheit ist, wir wissen es schlicht nicht. Allerdings geht man beim Gesetz der großen Zahlen davon aus, dass je größer die Erhebung ist, desto genauer wird die Aussage.
Nimm einen Würfel zur Hand. Du hast die Augensummen 1-6, zusammen also n/2 * n+1 -> 6/2 * 7 -> 3*7=21.
21 / 6 ergibt die durchschnittliche Augensumme von 3,5.
Würfel 2 mal nacheinander, addiere die Augensumme, normalerweise solltest du auf 7 kommen, trotzdem ist die Wahrscheinlichkeit dafür gerade mal 1/6. Das heißt, mit einer Wahrscheinlichkeit von über 80% wird das Ergebnis nicht 7 sein.
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Wiederhol das Experiment aber mit 100 Würfen und du wirst sehen, dass du sehr sehr nah an 100*3,5=350 Augenzahlen rankommen wirst. Die Varianz wird nur sehr gering sein. In dem Beispiel sind 3010 Sportler befragt wurden, wir haben über 1000 vielleicht Stimmen - die Varianz wird also sehr gering sein.
Vielen, lieben Dank! 😁😁