Komplexe Matrix invertieren?

Ich bin echt lost und weiß schon beim 2. Schritt nicht weiter...

Wie soll ich denn 2 + i mit 4 + i eliminieren?

Answer 1

[Schachpapa]

2i  i i | 1 0 0
1  2i i | 0 1 0
2  2i i | 0 0 1

III - II:   1  0  0  | 0 -1 1
    i*I :  -2 -1 -1  | i  0 0
      II:   1 2i  i  | 0  1 0

       I:   1  0  0  | 0 -1 1
    II+2I:  0 -1 -1  | i -2 2
    III-I:  0 2i  i  | 0  2 -1

       I:   1  0  0  | 0  -1   1
     -II:   0  1  1  | -i  2  -2
   III*i:   0 -2 -1  | 0  2i -i

       I:   1  0  0  |   0   -1    1
      II:   0  1  1  |  -i   2    -2
 III+2II:   0  0  1  | -2i 4+2i -4-i

       I:   1  0  0  |   0   -1    1
  II-III:   0  1  0  |  i  -2-2i  2+i
     III:   0  0  1  | -2i  4+2i -4-i
 

Kontrolle: WolframAlpha

Answer 2

[Willibergi]

Strikt nach dem Algorithmus durch (III) - (2 + i)/(4 + i) (II). Dann erhältst du Zeilenstufenform.

Ich würde aber (ganz am Anfang) alle Zeilen erstmal mit -i multiplizieren (formal: Linksmultiplikation mit den drei entsprechenden Diagonalmatrizen D(-i)). Dann erhältst du größtenteils positive, reelle Zahlen und das erleichtert die Umformung ziemlich. Ist es dann klar?

LG

Comments

[mathesehrschwer]

so habe ich es auch am angfang geamcht, dann hatte ich aber in zeile 2: 1-4i; 1-2i

und in zeile 3: 1 - 2i; 1 - i

Also selbes Problem :)

(2+i)/(4+i) geht doch über eine recht lange Formel zu berechnen, das für jeden Schritt dauert natürlich etwas zu lange ;)

[Willibergi]

@mathesehrschwer

Warum Problem? Lange Formel? Nö. Erweitere mit dem komplex Konjugierten, dann erhältst du (9+2i)/17. Im Grunde kannst du es ja machen, wie du willst. Bei elementaren Umformungen führen viele Wege zum Ziel.

[mathesehrschwer]

@Willibergi

Oh man... wir hatten da so ne relativ komplexe Formel aufgeschrieben, auch für *

Aber man kann ja einfach ausmultiplizieren :)

Answer 3

[bert00712]

Habt ihr einen anderen Gaußalgorithmus? Ich kenne es nur so, dass die zweite Zeile hier z.B. gleich II - I/(2i) = II+i I/2 ist und die dritte gleich III - I/i = III +i I.

Du eliminierst entsprechend dem Algorithmus (in deinem Beispiel):

III = III - II*(2+i) / (4+i)

Es wird umständlich.

Als Ergebnis sollte das da rauskommen:

• 0    -1    1  
•  î   -2-2î   2+î  
• -2î   4+2î   -4-î  

Comments

[mathesehrschwer]

Das macht keinen Unterschied: 2i II - I und dann noch *-1. Da kann man auch gleich I - 2i II machen :)

[bert00712]

@mathesehrschwer

Außerdem gilt allgemein:

(a +bi)^-1 = (a/(a^2 +b^2)) - i*b/(a^2 +b^2).

Also (4+i)^-1 = 4/(16 +1) -i/(16+1)= 4/17 - i/17 .

Answer 4

[Schachpapa]

Ich habe es jetzt nicht zuende gerechnet,

aber III - II ist 1 0 0

und I * i ist -2 -1 -1

Bringt dir das etwas?

Comments

[mathesehrschwer]

Nein :D

Wie kann denn bei 3 - 2 überhaupt 1 0 0 rauskommen, wenn die Erste stelle bereits 0 war?

[Schachpapa]

@mathesehrschwer

Als allererster Schritt. Anstelle deines ersten Schrittes.

Dass der zweite und dritte Wert in den Zeilen 2 und 3 übereinstimmt, springt einen doch an, oder nicht.