Komplexe Gleichung?

Vielleicht kann mir jemand helfen. Gegeben ist folgende Gleichung:

$z^4\ +1\ -i\ =\ 0$ Mein Ansatz:

$z^4\ =\ -1\ +i$ $r\ =\sqrt{\left(-1\right)^{2\ }+\left(1\right)2}\ =\sqrt{2}$ $phi\ =\ \arccos\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\ =\frac{3}{4}pi$

Daher:

$z^{4\ }=\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot\frac{3}{4}pi}$ $z\ =2^{\frac{1}{8}}\cdot e^{i\left(\frac{\frac{3}{4}pi+2\cdot k\cdot pi}{4}\right)}$ Für k entsprechend 0,1,2,3 wählen für alle vier Lösungen. Jedoch glaube ich, dass es einen Fehler gibt. Ich finde ihn auf jeden Fall nicht.

Answer 1

[hamberlona]

Doch, scheint zu stimmen. Das Verwirrende: Es sind nicht alle Lösungen mit allen k gleich, wie sie es wären wenn im Exponenten k*2*PI außerhalb des Bruches addiert würde. Trotzdem erfüllen alle die Bedingung: wenn man sie mit 4 potenziert kommt das z^4 in der vorletzten Zeile raus. Die Lösungsmenge sieht aus wie ein geneigtes +, und wenn man das hoch 4 nimmt spreizt sich jeder rechte Winkel zu einer vollen Umdrehung.

Answer 2

[Halswirbelstrom]

LG H.