Komme bei der Extremwertaufgabe (Nr.3) nicht weiter?
Mein Ansatz ist, dass ich den Umfang so darstelle:
20(=2pir^2/2 )+(2h2*r)
Wobei ich mir nicht sicher bin ob ich beim Umfang des Rechtecks auch den Boden mitbeachten muss.
Folglich würde ich dies nach h umformen;
h=(-pi*r^2/2)+(r)-(10)
Dann würde ich dies in die Flächengleichung des Tunnels packen;
A(h) wobei ich eben nicht weiter komme. Auch weiß ich nicht wie ich danach weitermachen soll. Ich glaube dass ich das irgendwie Ableiten sollte und 0 setzten muss, bin mir aber nicht sicher.
3 Antworten
Ich habe das Ding mal mit Hilfe von Wolfram durchrechnen lassen. Aber die Einzelzeilen liefere ich nur, wenn du absolut nicht dahinterkommst. (Es ist selbst mit Hilfe eine wilde Rechnerei!) Ich gehe aus von der Umfangsformel
u: 2r + 2h + π r = 20
Dann ist r = (20 - 2h) / (π + 2) ....... Nebenbedingung
Die Fläche ist: A = π * r²/2 + 2 r h
Da muss man r jetzt einsetzen und man hat die A-Funktion. Sehr spaßig.
Aber mit Copy/Paste geht es einigermaßen.
Leite ich diese ab, so ergibt sich A' = [20 (4+π) - 2(8+3π) * h]/(2 + π)²
A' = 0 ergibt dann h = 4,09
Das passende r steht als Formel weiter oben.
Wiederum in A eingesetzt, bekommen wir A = 22,96 F.E.
Ich habe einige h ausgerechnet mit > 4,09 und < 4,09.
Es ergaben sich jeweils kleinere Flächenwerte. Also ist das Maximum plausibel,
falls ich mich nicht irgendwo echt vertan habe.
Hast Du die Unterseite des Tunnels beim Umfang mit einberechnet?
Das habe ich nicht.
Für mich gehörte zum Umfang nur, was als dicke braune Linie eingezeichnet ist.
Daher in meiner Rechnung: U=pi*r+2h
Kann natürlich auch sein, daß der Boden mit zum Umfang gehören soll.
Das ist aber nicht eindeutig in der Aufgabe gefordert.
Doch!
Wie du aus der Umfangsannahme erkennen kannst, habe ich alles genommen, was vorliegt, einschließlichj des Bodens. Und ich bin dir dankbar, dass du die andere Rechnung durchgeführt hast. Bei dir kann man dann ja sehen, dass bei fehlendem Boden kein h bestimmt werden kann.
Wenn man davon ausgeht, daß der Querschnitt auf jeden Fall aus einem Rechteck und einem Halbkreis besteht, was allerdings in der Aufgabe erwähnt ist, muß man den Boden tatsächlich miteinbeziehen.
Ich habe das Ganze dann allerdings über das Lagrange-Multiplikationsschema berechnet, was wesentlich einfach ist und bin auf die erwähnten Ergebnisse
r=h=2,8... gekommen.
Hallo,
der Umfang besteht aus 2h und pi*r, daher:
2h+pi*r=20 (Nebenbedingung).
Die Fläche ist 0,5pi*r²+2rh und soll maximal werden.
Flächenfunktion ist daher f(r;h)=0,5pi*r²+2rh
Erste Gleichung nach h auflösen:
2h=20-pi*r
h=10-0,5pi*r
Einsetzen in die Flächenfunktion, die dann nur noch von r abhängig ist:
f(r)=0,5pi*r²+2r*(10-0,5pi*r)=0,5pi*r²+20r-pi*r²
Zusammenfassen:
f(r)=20r-0,5pi*r²
Erste Ableitung bilden und auf Null setzen:
f'(r)=20-pi*r=0
pi*r=20
Da 20 m der Gesamtumfang sein soll, ist klar, daß die maximale Querschnittsfläche erreicht ist, wenn h=0 und der Tunnelquerschnitt ein Halbkreis ist.
Herzliche Grüße,
Willy
Aber wenn sie 2r nutzen, gehört der Boden doch nicht dazu. Sie müssen doch 4r nutzen, da 2*r ja nur eine lange Seite wäre. 4r hingegen wäre doch die Seite 4 mal die r Seite also 2*d.
Ja hab ich jetzt auch gemerkt 😅 Nach r hab ich auch umgeformt, aber ich kann es nicht Ableiten weil ich A(r)=(-2*pi^2+200/pi) habe. Hab ich etwas falsch gerechnet oder ist das doch in irgendeinerweise logisch; denn wenn r Null ist, ist h ja auch null oder verstehe ich etwas nicht?
Deine Formel für den Umfang stimmt nicht.
Kreisumfang gleich 2*pi*r, Halbkreis daher pi*r.
Ein r^2 hat in der Umfangsformel nichts verloren.
Außerdem gehören zum Umfang außer pi*r für den Halbkreis nur noch 2h.
Daher:
pi*r+2h=20
die hinreichende Bedingung für eine Hochstelle ist ja, dass die 2te Ableitung ungleich Null bzw. kleiner als 0 ist. Dies ist aber gar nicht erfüllt!
Hallo,
wenn der Boden mit einbezogen wird, lautet die Nebenbedingung:
pi*r+2r+2h=20
2h=20-2r-pi*r
h=10-r-0,5pi*r
Einsetzen in f(r;h)=0,5pi*r²+2rh:
f(r)=0,5pi*r²+2r*(10-r-0,5pi*r)=0,5pi*r²+20r-2r²-pi*r²
Das ergibt f(r)=-0,5pi*r²+20r-2r²
f'(r)=-pi*r+20-4r=0
4r+pi*r=20
r*(4+pi)=20
r=20/(4+pi)=2,800495768
Eingesetzt in die Gleichung für h:
h=10-20/(4+pi)-0,5pi*20/(4+pi)=(40-20+10pi-10pi)/(4+pi)=20/(4+pi)=2,800...=r.
Herzliche Grüße,
Willy
Soll der Boden jetzt auch mit in die Berechnung einfließen oder nicht?
Dann gib mal r=h=2,800495768 ein.
Da kommst Du auf A=28,00495768