Könnte die Erde auch kleinere Asteroiden wie der Mars Phobos und Deimos als Monde haben oder würden diese sofort vom Mond weg katapultiert?

Dauerhaft könnte die Erde keine Asteroiden als Monde halten, weil die Wirkung der Schwerkraft von Erde, Mond und teilweise auch der Sonne zu instabilen Bahnen führen würde und die Asteroiden würden schnell wieder ins All abtriften, so wie du es schon erwähnt hast. Es ist schon vorgekommen, dass die Erde kleine Asteroiden quasi eingefangen hat, aber nach ein paar Umrundungen sind sie wieder ins All entwichen, wegen der instabilen Bahnen.

Im Weltall passiert recht wenig „sofort”. Wie sehr sich die Schwerefelder der hypothetischen Monde gegenseitig beeinflussen, hängt ja sehr von den konkreten Umlaufbahnen ab.

Bekanntermaßen gibts einige Planeten mit dutzenden von Monden in recht stabilen Orbits.

Der Saturnmond Titan ist fast so groß wie der Planet Mars und Saturn hat 146 bekannte Monde.