Knobelaufgabe für Mathechecker!?
Könnt ihr mir bitte bei dieser Matheaufgabe helfen, denn ich komme nicht weiter. Was hilft es mir, dass die beiden Strecken gleich lang sind?
Vielen Dank schonmal, an alle die antworten 😊
👍
2 Antworten
Hallo,
da steht: Ermiittle, nicht berechne. Du kannst die Aufgabe also auch durch eine Konstruktion lösen.
Daraus ergibt sich für alpha ein Winkel von 30°.
Ich habe meine Antwort um die Konstruktionsskizze ergänzt, die ich ein wenig erweitert habe.
Zum einen habe ich um M einen Kreis mit Radius MB geschlagen und den anderen Schnittpunkt mit AB B* genannt.
Dann habe ich die Strecke MC über C hinaus erweitert.
Von A aus habe ich eine Parallele zu B*C gezogen und den Schnittpunkt mit der Verlängerung von MC S genannt.
Des weiteren habe ich durch B* eine Parallele zu AC gezogen und den Schnittpunkt
mit MC C* genannt.
Die Dreiecke MB*C und MAS sind ähnlich.
Da die Seiten MB* und MC gleich lang sind, sind wegen der Ähnlichkeit auch die Seiten MA und MS gleich lang.
Über den Rest muß ich noch nachdenken.
Heute morgen fiel mir die verblüffend einfache Lösung ein. Ich war ja so blöd gewesen:
Da wir es hier nur mit Winkeln und Längenverhältnissen zu tun haben, können wir MB=MC einfach gleich 1 setzen.
Dann kann man BC mit dem Kosinussatz berechnen, denn der Winkel bei M von 140° ist ja bekannt.
Der Winkel bei B ist 20° wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks BMC.
Da AM=BC und MB=1, ist AB=BC+1 und BC ließ sich ja mit dem Kosinussatz berechnen.
Nochmalige Anwendung des Kosinussatzes mit AB, BC und dem eingeschlossenen Winkel bei B von 20° ergibt die Seite AC.
Nun kommt der Sinussatz an die Reihe. Der Sinus von alpha verhält sich zu BC wie der Sinus von 20° zu AC.
Aufgelöst nach Sinus (alpha) ergibt dies 0,5 mit dem Arkussinus (0,5)=30° für alpha.
Herzliche Grüße,
Willy
Durch Konstruktion läßt sich aber ohne zu messen zeigen, daß ein Bogen um M mit dem Radius AM und ein Bogen um A mit dem Radius AC sich in einem Punkt auf der Verlängerung von MC schneiden. Danach ist es ein leichtes, alpha zu berechnen. Nennt man diesen Schnittpunkt S und zeigt, daß AS=AC, ist der Fisch gegessen. Hier muß man wohl ansetzen.
OK, das habe ich verstanden, aber wie soll ich Alpha ohne abmessen herausfinden? Und vor allem: Was hilft es mir, wenn die beiden hervorgehobenen Strecken gleich lang sind?
Dann kommst Du mit dem Basiswinkelsatz weiter und kannst alpha leicht berechnen.
Das Problem ist nur der rechnerische Nachweis, daß die beiden Strecken wirklich gleich lang sind.
Ich habe die Lösung gefunden und meine Antwort entsprechend erweitert. Geht alles ohne Hilfslinien, Kreis um M bis zum Schnittpunkt B* erweitern reicht. Alles andere auf meiner Skizze ist unnötig.
Vielen Dank, aber gibt es irgendeine Regel, dass durch Ähnlichkeit die Strecken gleich lang sind?
Man müßte zeigen, daß die Dreiecke B*MC und ASC ähnlich sind, daß man sie durch Drehung, Streckung und Parallelverschiebung ineinander überführen kann.
Da MB* und MC gleich lang sind, wären es dann auch AS und AC. Der Rest wäre dann trivial.
Wieso geht die Verlängerung der Strecke MC exakt durch den Schnittpunkt des Kreises um den Mittelpunkt A mit dem Radius AC mit dem Kreis um den Mittelpunkt M mit dem Radius MA?
Doch einfacher als gedacht. War auch ehrlich gesagt ein wenig schwer zu glauben, dass eine so komplexe lösung gefordert wird. Gut gelöst.
Ich habe meine Antwort erweitert, weil ich jetzt die Lösung gefunden habe. Irgendwelche Hilfslinien sind unnötig.
Dankee ! Nur noch eine Frage: ich verstehe den letzten Schritt( sinus) nicht, kannst du ihn mir noch mal erklären?
Den Sinussatz wendest Du in allgemeinen Dreiecken an, wenn von zwei Seiten und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln drei Stücke bekannt sind.
Es gilt in jedem Dreieck: a/sin (alpha)=b/sin (beta)=c/sin (gamma), wenn das Dreieck in üblicher Weise beschriftet ist.
Wenn B und C auf einem Kreis um M liegen, ist das Dreieck MBC gleichschenklig und die Winkel sind 140, 20 und 20 Grad.
Kommst du damit weiter?
Dann müsste aber AB eine Gerade sein, gibt es irgendeinen Beweis dafür?
Du meinst, dass A, M und B vielleicht nicht auf einer Geraden liegen und der Winkel AMB nicht 180° sein könnte?
Das wäre schon böswillig, wenn man das so offensichtlich gerade zeichnet, es aber winklig meint. Dann könnte man auch in Zweifel ziehen, dass M der Mittelpunkt des Kreisbogens ist.
Aber im Prinzip hast du Recht, man müsste angeben, dass A, M und B auf einer Geraden liegen.
Hast du in diesem Fall eine Idee wie man die Aufgabe lösen könnte?
War erstmal nur eine Beobachtung.
In welchem Kontext steht die Aufgabe? Strahlensätze, Kongruenzsätze, Winkel am Dreieck, analytische Geometrie oder einfach "alles"? Schulbuch, Wettbewerb, recreational Mathematics? Damit man weiß, in welche Richtung man denken soll 😉
Aufgabe aus Wettbewerb, deswegen wahrscheinlich eine Mischung aus allem...
Welcher Wettbewerb? Hoffentlich kein laufender.
Der Winkel ist 30°. Aber eine Konstruktion mit GeoGebra gilt wohl nicht als Beweis.
Landeswettbewerb Mathematik, ich will mitmachen, aber wahrscheinlich bin ich noch zu jung... Die Aufgaben sind eher für 9. und 10. Klasse
Aber du weißt schon, dass die Regeln ausdrücklich die Benutzung von Internetforen zur Unterstützung verbieten? Also sei kein Spielverderber.
Wie du im Internet sehen kannst, ist es nicht eine Aufgabe aus der aktuellen Runde (die eh schon vorbei ist)!! Da ich mich sehr für Mathe interessiere, mache ich gerne Matheaufgaben in meiner Freizeit, und versuche Aufgaben, die ich nicht verstehe zu verstehen.
Alles gut. Ich habe die Aufgabe nicht gefunden (aber auch nicht viel Mühe reingesteckt, als sie mir nicht sofort entgegen fiel). Welcher Landeswettbewerb (gibt es außer BaWü und Bay noch weitere?) in welchem Jahr war es denn?
Ich habe inzwischen die Lösung gefunden. Einfach MB=1 setzen, BC mit Kosinussatz lösen (mit Winkel 140° und den einschließenden Seiten MB=MC=1.
Nochmal Kosinussatz, um AC auszurechnen mit Winkel 20° bei B und AB=BC+1 und BC als einschließende Seiten, anschließend Sinussatz ergibt alpha=30°.
Da nur Winkel und Seitenverhältnisse gegeben sind, läßt sich eine Länge beliebig wählen. Das Dreieck ist ja nur so konstruier- und berechenbar, daß sich ähnliche Dreiecke ergeben.
"Bestimme", aber das ändert nichts.
Aber dann muss man schon zeigen, dass es 30° sind. Nachmessen gilt nicht.