Kleinwinkelnäherungen an Spaltexperimenten?
Kann das jemand erklären ich habe das leider nicht verstanden?
3 Antworten
Schau dir die Winkelfunktion am Einheitskreis an.
https://www.walter-fendt.de/html5/mde/sincostan_de.htm
Da ist der sinus die Gegenkathete, und die ist bei kleinen Winkeln nur unwesentlich kleiner als die zughörige Bogenlänge (also der Winkel im Bogenmaß).
Und er Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete, und die Ankathete ist bei kleinen Winkeln nur unwesentlich kürzer als die Hypotenuse
Die Kleinwinkelnäherung ist eine Vereinfachung die bei trigonometrischen Funktionen getroffen werden kann.
So kann zB für kleine Winkel sin(alpha) durch alpha ersetzen.
Wenn wir hier einen kleinen Winkel alpha von zB 0.1 annehmen dann gilt sin(0.1)=0.0998 was also in etwa eben 0.1 entspricht.
Beim Doppelspaltexperiment verwendet man oft die Kleinwinkelnäherungen für den arcsin(x) = x und arctan(x) = x für kleine x
So wird dann eben aus
arcsin(s/a) = arctan(x/d) eben s/a = x/d
Das ganze ist also nur ein mathematische Näherung die einem das Rechnen erleichtert. In der Physik ist es oft so, dass man Werte nur bis zu einer gewissen Sinnhaftigkeit genau berechnet. Welche Genauigkeit sinnvoll ist, ist zwar immer Betrachtungsabhängig, allerdings erlauben eben solche Näherungen sehr schnell sehr gute Abschätzung für erwartbare Größen.
Oftmals will man ja auch einfach nur wissen in welcher Größenordnung bestimmte Größen liegen. So ist es zB für die erste Auslegung eines Haltesystems nur mal wichtig, ob man von Kräften im 100N oder 10kN Bereich wichtig und nicht ob es nun 100 oder 110N sind und da erlauben die Kleinwinkelnäherungen eben schnell ohne viel Rechenaufwand eine ungefähre Größenordnung zu errechnen.
Sei gegrüßt, @Jeymi378! 🙋🏼♂️
Kleinwinkelnäherungen an Spaltexperimenten
Das Konzept der Kleinwinkelnäherung (auch paraxiale Näherung genannt) spielt eine Rolle in der Wellenausbreitung, insbesondere bei Beugungsexperimenten wie dem Doppelspaltexperiment oder dem Einfachspalt. Die Idee ist, dass für kleine Ablenkwinkel θ eine mathematische Vereinfachung möglich ist, die Berechnungen erleichtert, ohne dabei die physikalische Aussagekraft zu verlieren.
Warum Kleinwinkelnäherung?
In Experimenten mit Licht oder anderen Wellen (Elektronen, Neutronen etc.), die durch einen oder mehrere Spalte beugend abgelenkt werden, interessiert uns oft die Intensitätsverteilung auf einem Schirm in einiger Entfernung. Der exakte Beugungswinkel kann über die Wellenzahl k, die Spaltbreite d und den Ablenkwinkel θ beschrieben werden.
Der kritische Term dabei ist:
sin(θ) = mλ/d
für die Maxima des Doppelspalts, bzw.
sin(θ) = kλ/a
für die Minima beim Einfachspalt (wobei λ die Wellenlänge, m oder k eine ganzzahlige Ordnungszahl, und a die Spaltbreite ist).
Für kleine Winkel (θ ≈ 0) gilt näherungsweise:
sin(θ) ≈ θ
und sogar noch weiter vereinfacht:
tan(θ) ≈ θ
Dies ermöglicht eine direkte lineare Beziehung zwischen den Abständen auf dem Schirm und der Wellenlänge, wodurch komplizierte trigonometrische Berechnungen entfallen.
Anwendung im Spaltexperiment
Doppelspalt:
- Die Interferenzmaxima liegen bei xm = m*λL/d, wobei L der Abstand vom Spalt zum Schirm ist.
- Mit Kleinwinkelnäherung ist die Position der Maxima auf dem Schirm also direkt proportional zur Ordnung m.
Einfachspalt:
- Die Minima der Beugung treten bei a sin(θ) = kλ auf.
- Näherung: xk = k*λL/a, was wieder eine einfache lineare Beziehung ergibt.
Wann ist die Kleinwinkelnäherung zulässig?
Die Näherung ist umso genauer, je kleiner der Winkel ist, was typischerweise dann gilt, wenn:
- Der Abstand L groß ist im Vergleich zu den Interferenzstreifen.
- Die Wellenlänge klein gegenüber der Spaltbreite ist.
Typischerweise wird sie verwendet für θ < 10∘, da dann die Abweichung zwischen sin(θ) = und θ vernachlässigbar ist.
Die Kleinwinkelnäherung erlaubt es, die sonst komplizierte trigonometrische Abhängigkeit zwischen Beugungswinkeln und Abständen auf dem Schirm durch eine einfache proportionale Beziehung zu ersetzen. Dadurch wird die Berechnung der Interferenz- und Beugungsmuster erheblich vereinfacht.
Falls Sie diesbezüglich eine/mehrere Frage(n) haben, kommentieren Sie mein Kommentar.
Mit erquickendem Gruß! 👨🏼🎓