Kennt ihr die antwort zum Rätsel?

Ein alter König wollte einem zum Tode Verurteilten eine letzte Chance gewähren, sein Leben zu retten. Er gab ihm 10 schwarze und 10 weiße Kugeln. Außerdem bekam er zwei Kisten, auf die der Verurteilte die Kugeln beliebig verteilen durfte. Am nächsten Morgen musste er blind eine der Kisten auswählen (ohne sie anzufassen) und danach aus der gewählten Kiste eine Kugel ziehen. Wenn diese Kugel weiß ist, so würde ihm die Freiheit gewährt.

Finde eine Verteilung der Kugeln, mit der die Überlebenschance des Gefangenen möglichst groß wird

Answer 1

[PWolff]

Lösungsansatz:

Nummeriere die Kisten mit 1 und 2.

Nenne die Gesamtzahl der weißen Kugeln w_ges und die der schwarzen Kugeln s_ges.

Nenne wie Wahrscheinlichkeit, dass am nächsten Tag Kiste 1 gewählt wird, p1, entsprechend für Kiste 2 p2.

Dann ist

P("weiß gezogen") = p1 * w1 / (w1 + s1) + p2 * w2 / (w2 + s2)

w1 + w2 = w_ges

s1 + s2 = s_ges

p1 + p2 = 1

w1 >= 0, w2 >= 0, s1 >= 0, s2 >= 0, p1 >= 0, p2 >= 0, w1, w2, s1, s2 ganze Zahlen

Gegeben sind w_ges, s_ges sowie anzunehmenderweise p1 und p2 (jeweils 1/2).

Hieraus ist das Maximum für P("weiß gezogen") zu ermitteln.

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Answer 2

[jmaz17]

Sagen wir, der Verurteilte legt a weisse Kugeln und b schwarze Kugeln in die erste Kiste. Dann gewinnt er mit einer Wahrscheinlichkeit von $P\ =\ \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{10-a}{20-a-b}\right)$ Zusätzlich verlangen wir, dass a und b beide zwischen 0 und 10 liegen müssen und erstmal reelle Zahlen sein dürfen. Mit Methoden aus der Analysis kann man zeigen, dass bei (x,y) = (5,5) ein lokales Minimum vorliegt. Das interessiert uns aber nicht. Da im Inneren der Region kein weiteres Extremum existiert, muss das Extremum auf dem Rand liegen.

Es gibt nun zwei Fälle:

$\left(1\right)\ 0\le a\le10,\ 1\le b\le9$

$\left(2\right)\ 1\le a\le9,\ 0\le b\le10$ da mindestens eine Kugel in jeder Kiste liegen muss. (Ansonsten hätte er nur die schwache 50-50 Chance und es ist klar, dass das nicht die beste Strategie ist.)

Die möglichen Fälle sind, dank Symmetrie (a=1 ist die selbe Situation wie a=9 einfach die Kisten vertauscht), nur noch (0,b), (a,1), (1,b), (a,0) mit den Einschränkungen von oben. Damit müssen wir die Maxima finden von:

$P_1=\frac{1}{2}\left(\frac{10}{20-b}\right)\ \rightarrow\ b=9,\ P_1=\frac{10}{22}$ $P_2=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{10-a}{19-a}\ \right)\ \rightarrow\ a=4,\ P_2=\frac{3}{5}$ $P_3=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+b}+\frac{9}{19-b}\right)\ \rightarrow\ b=0,\ P_3=\frac{14}{19}$ $P_4=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a}+\frac{10-a}{20-a}\right)\ \rightarrow\ a=1,\ P_4=\frac{14}{19}$

Hierbei muss man nur in einer Variablen maximieren. Man sieht leicht, dass (a,b) = (1,0) die höchste Wahrscheinlichkeit, nämlich 14/19=0.736842, ergibt.

Ich hoffe diese Erklärung ist verständlich genug, bei Unklarheiten gerne nachfragen.

Answer 3

[paasmoo]

Hallo anonymmmm278,

Die Wahrscheinlichkeit wird maximal, wenn in eine Kiste eine weiße Kugel und in die andere Kiste neun weiße und zehn schwarze Kugeln gelegt werden. Daraus ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen: etwa 73,68%.

https://www.logisch-gedacht.de/logikraetsel/ziehen/loesung/

Liebe Grüße,

Pascal

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