Kann mir jemand helfen bei quadratischen Gleichungen, Textaufgaben?
Wir haben in Mathe ein Beispiel aus dem Buch, das ich einfach nicht verstehe: Tischlermeister Adam kauft heute für 6€ Schrauben. Er ärgert sich: Hätte er die Schrauben zum Aktionspreis in der vorigen Woche gekauft, wäre der Preis einer Schraube um 1c geringer gewesen als heute und er hätte für dieselben 6€ um 100 Schrauben mehr erhalten. Wie viel musste Tischlermeister Adam heute für eine Schraube bezahlen?
Ich weiß nicht wie man die Gleichung aufstellt, hoffe, dass mir jemand helfen kann. Danke im vorraus
3 Antworten
Hallo,
rechne die Euro in Cent um, so daß die Kaufsumme 600 Cent beträgt.
Nenne die Zahl der gekauften Schrauben x und den Preis einer Schraube y.
Dann bekommst Du zwei Gleichungen.
Die erste lautet einfach x*y=600, denn Herr Adam (ich kannte übrigens wirklich einen Tischlermeister namens Adam) hat eine noch unbekannte Menge von Schrauben zu einem noch unbekannten Stückpreis erstanden und hat für das Ganze 6 €=600 Cent bezahlt.
Die zweite Gleichung berücksichtigt den Aktionspreis der vergangenen Woche
y-1, eine Schraube war um einen Cent billiger, und die veränderte Stückzahl, die er hätte kaufen können: x+100.
Also:
(x+100)*(y-1)=600
Anhand der ersten Gleichung kannst Du y durch x ausdrücken:
x*y=600
y=600/x
Du kannst also das y in der zweiten Gleichung durch 600/x ersetzen:
(x+100)*(600/x-1)=600
Nun hast Du nur noch eine Unbekannte und kannst die Gleochung nach x auflösen.
Ausmultiplizieren:
600x/x-x+60.000/x-100=600
600x/x kannst Du kürzen:
600-x+60.000/x-100=600
Die Zahlen ohne x kannst Du auf die rechte Seite bringen:
-x+60.000/x=100
Nun stört noch das x im Nenner. Das bekommst Du weg, indem Du jeden Summanden mit x multiplizierst:
-x²+60.000=100x
Jetzt noch das -x² auf die andere Seite bringen:
60.000=x²+100x
Wenn Du die 60.000 auch noch auf die andere Seite bringst und die Seiten vertauschst, bekommst Du die quadratische Gleichung
x²+100x-60.000=0 heraus.
Wenn Du siehst, daß 300*(-200)=-60.000 sind und 300-200=100,
kannst Du die Lösungen direkt bestimmen:
(x+300)*(x-200)=0, was uns zu zwei Lösungen bringt:
x=-300 oder x=200
Die negative Lösung ist unbrauchbar, bleibt also x=200.
Da y=600/x ist, ist y=3.
Also hat Herr Adam 200 Schrauben zum Stückpreis von 3 Cent erstanden.
Eine Woche zuvor hätte er sie für 2 Cent bekommen und für seine 6 Euro 300 Schrauben bekommen.
Wenn Du die Lösung nicht so siehst, kannst Du sie auch mit der pq-Formel berechnen.
x²+100x-60.000=0
Die beiden Lösungen für x lauten dann -100/2±√[(-100/2)²+60.000], also
-50±√(62500) oder -50±250=200 oder -300
Herzliche Grüße,
Willy
Also: Sei x die Anzahl der Schrauben und p der aktuelle Preis einer Schraube in Cent.
Dann gilt nach der ersten Aussage "Tischlermeister Adam kauft heute für 6€ Schrauben.": p * x = 600
Nach der zweiten Aussage "Hätte er die Schrauben zum Aktionspreis in der vorigen Woche gekauft, wäre der Preis einer Schraube um 1c geringer gewesen als heute und er hätte für dieselben 6€ 100 Schrauben mehr erhalten" gilt: (x+100) * (p-1) = 600
Schönen Gruß an deinen Lehrer; ich mach das hier völlig anders als meine Konkurrenten. Vor allem lege ich hier den Rückwärtsgang ein; bei mir wird nix " aufgelöst " Ich behaupte ganz frech: Dein Problem führt auf eine quadratische Gleichung
x ² - p x + q = 0 ( 1 )
Bloß was sind p und q? Adam kauft n Schrauben zum Stückpreis von P ; beide sind ja unbekannt.
n P = 600 ( 2a )
Gestatte, dass ich alles in Cent umrechne. Wäre er schlauer gewesen, hätte er für ( P - 1 ) bekommen ( n + 100 ) Stück; ist dir dieser Ansatz klar?
( n + 100 ) ( P - 1 ) = 600 ( 2b )
Jetzt lösen wir in ( 2b ) die Klammern auf:
n P + 100 P - n - 100 = 600 ( 2c )
Hier das schreit doch förmlich nach dem Subtraktionsverfahren ( 2c ) - ( 2a )
100 P - n = 100 ( 2d )
Also jetzt lege ich wirklich den Rückwärtsgang ein. Ich vergebe die ( physikalische ) Bedeutung der beiden Unbekannten x1;2 in ( 1 )
x1 := - n ; x2 := 100 P ( 3a )
Wie komme ich jetzt darauf? Ich sagte schon; bei mir wird nicht eingesetzt. Vieta das geschmähte Stiefkind; wie lautet Vieta p für ( 1;2d;3a ) ?
p = x1 + x2 = 100 P - n = 100 ( 3b )
Und Vieta q ? Schau in ( 2a;3a )
q = x1 x2 = - 100 n P = ( - 60 000 ) ( 3c )
f ( x ) = x ² - 100 x - 60 000 = 0 ( 3d )
Bereits aus der cartesischen Vorzeichenregel ergibt sich, dass du eine positive so wie eine negative Wurzel findest in Übereinstimmung mit ( 3a ) ICH sagte dir: Die positive Lösung ist ( im Wesentlichen ) der Stückpreis, die negative ist gleich der Anzahl Schrauben. Dein Lehrer hat auch keine andere Gleichung; trotzdem wird er dir sagen, negative Preise seien Sinn los. Hier wer hat die Gleichung jetzt verstanden; der oder ich?
Mir Frankfotter hawwe da en gei le Witz; waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese, in Sachsehause? Uff'n Affetorplatz?
Sitzt e klaa Äffsche uff die Palm. Unn rings von alle Seite kimmt uff des Äffsche e konzentrisch Feuerwalz auf zu. Wie soll sisch des Äffsche in Sischerheit pringe?
Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?
Nein; ( 3d ) löse ich nicht mit der Mitternachtsformel ( MF ) Schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?
Mathematik kann sehr aufregend sein; Wikis Behauptung, den SRN habe Gauß entdeckt, stellt eine dreiste Fälschung dar.
1) Gauß ist doch Kult; wie kommt es dann, dass dein Schrat noch nie vom SRN vernommen hat? ( Aktion Affentorplatz )
2) WIE habt ihr damals bewiesen, dass Wurzel ( 2 ) irrational? Halt stop: versuch das nochmal mit dem SRN zu beweisen.
DIESEN Beweis wirst du dein Leben lang nicht mehr vergessen.
Und weder Gauß noch den 200 Jahren seit ihm sollte diese Idee gekommen sein? Abwegig.
3) Das älteste Zitat, welches Wiki vorzulegen vermag, stammt aus dem Jahre 2006, dem ( wahrscheinlichen ) Entdeckungsjahr. Was du als Schüler noch nicht wissen kannst: Als seriös gelten ===> v.d. Waerden und ===> Artin ( 1930 ) ; keiner von den beiden Genossen hat je von einem " SRN " vernommen . . .
Natürlich erwarten wir nicht, dass unser Problem auf irrationale Lösungen führt. Der SRN erzwingt, dass wir in ( 3c ) sämtliche GANZZAHLIGEN Zerlegungen des Absolutgliedes 60 000 durchsuchen - lohnt dieser Aufwand überhaupt noch?
Vor mir scheint sich noch niemand gefragt zu haben, was ggt x1;2 sein könnte. Sei m ein Teiler; wieder aus dem Satz von Vieta
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 4a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 3d ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt, in unserem Falle offenbar 100 . Die Behauptung
ggt x1;2 = gkt ( f ) ( 4b )
Ein Polynom kannst du genau so durch seinen gkt kürzen wie einen Bruch durch seinen ggt . Dies geschieht vermöge der Substitution
x =: u * gkt ( f ) = 100 u ( 5a )
( 5a ) einsetzen in ( 3d )
f ( u ) = ( 100 u ) ² - 100 ( 100 u ) - 6 * 100 ² = ( 5b )
= 100 ² ( u ² - u - 6 ) ( 5c )
Und Teilerfürst Gauß, der Teilbarkeitseigenschaften entdeckt hat, die unsereins nicht mal versteht, sollte den gkt nicht beachtet haben? Kopf schüttel . . .
Auch für die Freunde der MF ist dieser gkt von Interesse; tritt er doch als Faktor vor die Mitternachtswurzel. Und - oh Wunder - für die Sechs verbleiben gerade mal zwei Zerlegungen; die triviale 6 = 1 * 6 so wie die nicht triviale 6 = 2 * 3 . Hinreichende Probe, überlebenswichtig in jeder Klausur, ist auch hier wieder der Vieta:
| u1 | = 1 ; | u2 | = 6 ; | p | = 5 ( 5d )
| u1 | = 2 ; | u2 | = 3 ; | p | = 1 ( 5e ) ; ok
Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - und fertig ist die Laube. Bitte beachte diesen ggt = 100 ; dann finden wir aus ( 3a ) die Stückzahl
u1 = ( - 2 ) ===> 100 | u1 | = | x1 | = n = 200 = Stückzahl ( 6a )
Im Zusammenhang mit der Wurzel x2 intressiert uns nur der Preis; jetzt taucht aber in ( 3a ) zusätzlich noch ein Faktor 100 auf. D.h. wir kommen wohl oder übel zu dem Schluss, dass u2 bereits der Stückpreis ist:
u2 = 3 Cent = Stückpreis ( 6b )
Danke, Danke du hast mir echt geholfen!