Kann mir jemand bei der Matheaufgabe weiterhelfen?
Hallo :) es geht um die Aufgabe 8a)
irgendwie habe ich ein Problem
der Punkt P ist (4/5/7)
meine Ebene: 4x1+3x3+4x3= 12
laut Lösungen ist es auch richtig
irgendwie komme ich nicht auf den Abstand
was muss ich machen ?
Ich bekomme eine andere Lösung raus
Der Abstand muss 7.03 LE sein
kann mir einer helfen ? Danke
3 Antworten
Du hast was vertauscht. Die Formel ist 3x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 12. Der Formel zur Folge ist n = (3, 4, 3) ein Normalvektor zur Ebene. Seien
- O der Ursprung;
- P = (4, 5, 7);
- E ein Punkt auf der Ebene, der am nächsten zu P liegt.
Da E auf der Ebene liegt, gilt laut Ebene-Formel
1)... OE•n = 12.
Nun ist es leicht zu zeigen, dass EP || n und darum
2)... d(P, Ebene) = |EP•n|/||n||.
Theorie beiseite, wir berechnen nun:
3)...
EP•n = (OP–OE)•n
= (OP•n) – (OE•n)
= (4,5,7)•(3,4,3) – 12, laut 1 und durch Einsetzen von P, n
= 53 – 12
= 41
4)...
||n|| = √((4)²+(3)²+(4)²) = √41
Aus 2–4 folgt
d(P, Ebene) = |41| / √41 = √41 ≈ 7,031 Einheiten.
8 a) ist die Ebene E1:
Dreipunktgleichung der Ebene
E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)
a=s1
b=s2
c=s3
eingesetzt und ausgerechnet ergibt die Vektorielle Parametergleichung der Ebene
E: x=a+r*u+s*v
u(ux/uy/uz)
v(vx/vy/vz)
u und v sind die Richtungsvektoren der Ebene,aus denen man den Normalenvekor
berechnen kann.
Normalengleichung der Ebene
E: (x-a)*n=0
Normalvektor no=1 ist 1=Wurzel(nox²+noy²+noz²)
Betrag von (n)=Wurzel(nx²+ny²+nz²)
nox=nx/(n)
noy=ny/(n)
noz=nz/(n)
ergibt die Hesse´sche Normalform der Ebene
E: (x-a)*no=0
Daraus ergibt sich die Abstandsformel von Punkt P(x/y/z) und der Ebene
x=P
Abstand des Punktes von der Ebene
d=d(p,E)=Betrag((p-a)*no)
Mit dem Lotfußpunktverfahren,geht eine Gerade durch den Punkt P(x/y/z) und der Ebene.
Geradengleichung x=a+r*n
n(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene
P=a+r*(nx/ny/nz) mit r=1
x-Richtung ax=px-1*nx
y-Richtung ay=py-1*ny
z-Richtung az=pz-1*nz
Der Fußpunkt (Schnittpunkt mit der Ebene) ist a(ax/ay/az)
Abstand von 2 Punkte im Raum
d=Wurzel(x2-x1)²+y2-y1)²+(z2-z1)²
Also gibt es 2 Möglichkeiten,den Abstand des Punktes von der Ebene zu bestimmen
1) Mit der Punkt Abstandsformel d=d(P,E)=Betrag((p-a)*no)
2) Mit dem Lotfußpunktverfahren,wo eine Gerade x=a+r*(nx/ny/nz)
durch den Punkt P(x/y/z) geht und die Ebene im Punkt a(ax/ay/az) schneidet
Abstand ist dann d=Wurzel((x-ax)²+(y-ay)²+(z-az)²)
Schreib mal deutlich
Wie sind den die koordinaten vom Punkt P(x/y/z)
x1=x
x2=y
x3=z
x1=s1 S1(x/0/0)
x2=s2 S2(0/y/0)
x3=s3 S3(0/0/z)