Kann man den Maximalwert (des Erwartungswertes) der Glockenkurve mit der Formel 0,4 durch sigma berechnen?

Danke für eure Hilfe😀

Answer 1

[blechkuebel]

Ja das passt ziemlich genau.

Auf der y-Achse der Normalverteilung ist ja die Wahrscheinlichkeitsdichte.

Die Formel für diese ist ja (siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung#Definition )

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sigma^1}}\cdot e^{^{\ }\left(-0.5\cdot\left(\frac{\left(x-\mu\right)}{\sigma}\right)^2\right)\ }$

Wenn Du die Wahrscheinlichkeitsdichte an dem Erwartungswert ausrechnest, ist die Differenz

$x\ -\mu=\ 0$ Dadurch wird ja der Bruch im Exponenten null und damit auch der gesamte Exponent.

Also:

$Wahrscheinlichkeitsdichte=\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sigma^1}}\cdot e^0$ "e hoch null" ist ja 1.

Also kannn man das in der Formel auch weglassen. Also gilt:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\cdot\sigma^1}}$

Laut Wurzelgesetzen kann man auch schreiben:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi}\cdot\sqrt{\sigma^2}}$

Da kann ich dann auch das schreiben:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi\ }\cdot\sigma}$

Das kann ich wiederum so schreiben:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot\frac{1}{\sigma}$

Und wenn ich den ersten Bruch ausrechne: kommt da gerundet 0.4 heraus (also genauer: 0.3989422804

Also:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ 0.3988422804\ \cdot\ \frac{1}{\sigma}$ Das kann ich auch so schreiben:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{0.3989422804}{\sigma}$

Und das ist gerundet:

$Wahrscheinlichkeitsdichte\ =\ \frac{0.4}{\sigma}$