Kann jemand mir helfen bei diesem Aufgabe? Potenzen mit einer ganzen Zahl?

Answer 1

[mihisu]

======Zu Teilaufgabe a)======

Zunächst einmal solltest du die entsprechenden Werte berechnen (oder von einem Taschenrechner berechnen lassen), damit du diese besser vergleichen kannst...

$5^3=125,\quad 3^5=243;$

$6^4=1296,\quad 4^6=4096;$

$10^8=100000000,\quad 8^{10}=1073741824;$

Nun ist die Frage, ob dir da etwas auffällt.

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Mir würde da beispielsweise auffallen, dass der erste der beiden Werte jeweils der kleinere Wert ist. Vermutung:

$\text{Für }b<a\text{ gilt }a^b < b^a\text{.}$

Diese Vermutung soll nun anhand weiterer Beispiele überprüft werden. Berechne die Werte also für weitere Zahlen a, b und prüfe, ob bei diesen Beispielen die Vermutung ebenfalls stimmt, oder ob die Beispiele der Vermutung widersprechen.

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Beispielsweise passt

$5^2 = 25\ <\ 2^5 = 32$

zur Vermutung. Jedoch widerspricht beispielsweise

$3^2 = 9\ >\ 2^3 = 8$

der Vermutung, weshalb die Vermutung letztendlich falsch ist.

Auch das Beispiel

$4^2=16\ =\ 2^4=16$

würde der Vermutung widersprechen.

======Zu Teilaufgabe b)======

Nun soll man noch Zahlen a, b mit

$a^b=b^a$

finden.

Da ist man vielleicht schon zufällig bei Teilaufgabe a auf solche Zahlen gestoßen. Ich habe beispielsweise

$4^2=2^4\quad\text{(für }a=4\text{ und }b=2\text{)}$

bereits in Teilaufgabe a) gefunden.

Ansonsten könnte man es sich aber auch einfach machen und einfach a = b wählen. So erhält man trivialerweise beispielsweise

$1^1=1^1\quad\text{(für }a=1\text{ und }b=1\text{)}$

$2^2=2^2\quad\text{(für }a=2\text{ und }b=2\text{)}$

$3^3=3^3\quad\text{(für }a=3\text{ und }b=3\text{)}$

Answer 2

[Cool69]

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