ist unendlich = unendlich?
ist unendlich gleich unendlich oder ist unendlich weder/noch größer/kleiner als unendlich?
5 Antworten
Kann man so nicht sagen. Unendlich ist ein Symbol und in der Regel nur Notation für "nicht endlich". Deshalb gibt es nicht das unendlich. Ordnungsrelationen lassen sich nur vernünftig zwischen plus/minus unendlich und tatsächlichen Zahlen definieren (aber auch das ist nur vereinzelt sinnvoll). Man kann es sich in etwa so vorstellen:
Gott ist nicht vorstellbar, Gedanken lesen ist nicht vorstellbar. Ist es dasselbe? Nein, nur derselbe Ausdruck, eine Beschreibung - aber es macht einfach keinen Sinn, dass etwas mehr unvorstellbar ist als etwas anderes. "Unvorstellbar" heißt "nicht vorstellbar", aber für den ein oder anderen mag Gedanken lesen noch ein Quäntchen weniger unvorstellbar sein als Gott (oder andersherum). Trotzdem ist beides nicht vorstellbar. Genauso ist es mit unendlich.
Um Kommentare vorzubeugen: Ja, man kann Kardinalzahlen definieren und dann mittels der Mächtigkeit von Mengen, aufgefasst als (An-)Zahl, verschiedene "Stufen" unendlicher Anzahlen definieren. Das geht aber ab dem Punkt schief, an dem man die Mächtigkeit nicht-endlicher Mengen als (natürliche) Zahl interpretieren will. Das mag intuitiv sein, klappt aber formal nicht.
Hi,
tatsächlich gibt es verschiedene Unendlichkeiten. Mengentheoretisch ist die kleinste Unendlichkeit ist die abzählbare Unendlichkeit. Nehme z.B. die natürlichen Zahlen. Diese kannst du abzählen mit 1,2,3,4,5,6,7,8,...., jedoch wirst du kein Ende, also keine größte natürliche Zahl, finden, deshalb handelt es sich um eine abzählbare Unendlichkeit an Elementen, man nennt das auch Aleph 0.
Vergleichen wir das mit den reellen Zahlen: Hier findest du schon in dem Intervall [0,1] (alle reellen Zahlen von 0 bis 1) keine Regel nach der du die Zahlen in diesem Intervall abzählen könntest. Man nennt das dann überabzählbar unendlich, in diesem Fall auch Aleph 1.
Aber das kann man wieder verallgemeinern. Die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen (das nennt man die Potenzmenge) ist auch eine überabzählbare Menge der Größe Aleph 1. Jetzt kann man aber auch die Potenzmenge der reellen Zahlen aufstellen, also eine Potenzmenge einer überabzählbaren Menge an Elementen. Das gibt dir noch eine größere Unendlichkeit, Aleph 2.
Und jetzt kannst du von dieser Potenzmenge wieder die Potenzmenge nehmen und erhältst wieder eine größere Unendlichkeit, Aleph 3. Und das kann man jetzt so weiter fortsetzen, also können wir die verschiedenen Größen von Unendlich wiederum abzählen: Aleph 0, Aleph 1, Aleph 2, Aleph 3, .....
Wenn du dich weiter mit dem Thema beschäftigen willst wirst du um den Namen Georg Cantor nicht herumkommen, der hat die Grundlagen dieser Theorie aufgestellt. Siehe dazu auch "Kontinuumshypothese" und "Kardinalszahl"
Obwohl man Unendlich in der angewandten Mathematik manchmal schludrig verwendet, gibt es Unendlich nicht als "Zahl". Der Begriff ist in der Analysis und Mengentheorie aber so definiert, dass diese Frage gar nicht aufkommen kann.
Unendlich ist unendlich. Ist beides dasselbe also kann das Eine nicht grösser/kleiner sein als das Andere.
Nein, so einfach ist Mathematik leider nicht. Selbst unendliche Mengen können verschieden groß sein; dies wird durch die Kardinalität beschrieben. Die reellen Zahlen R sind demnach mächtiger als die natürlichen Zahlen N.
Unendlich ist gleich unendlich.
Nein, so einfach kann man das nicht sagen, denn selbst unendliche Mengen können verschieden groß sein; dies wird durch die Kardinalität beschrieben. Die reellen Zahlen R sind demnach mächtiger als die natürlichen Zahlen N.