Integralrechnung/ Aufgabe?
Hallo, ich hätte eine Frage zu b) :
ich verstehe nicht, wieso die Ballonfahrt auf dem Startplatz startet und auf dem Hügel endet, da der Graph ja auf der selben Höhe endet wie er anfängt… Und wie berechne ich, wie viel höher der Startplatz liegt als der Hügel? Es ist doch beides bei x=0??
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Die Aufgabe zu kennen hilft enorm.
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3 Antworten
Der Graph gibt die Geschwindigkeit an, die der Ballon steigt oder sinkt.
Du siehst zum Beispiel zwischen 25 und 35 min ist die Steiggeschwindigkeit 1m/s. Das heißt 10 min = 600 sek steigt er um:
1 m/s * 600 sek = 600 m
Zwischen der Zeit 25 und 35 min ist der Ballon um 600 m in die Höhe geflogen.
Bei Minute 40 beträgt die Steiggeschwindigkeit 0,5 m/s. Der Ballon steigt hier immer noch nach oben.
Bei Minute 43 ist v = 0 m/s. Hier hält der Ballon seine Höhe. Zwischen Minute 43 bis Minute 70 sinkt der Ballon.
Die wahre Höhe des Ballon bekommst du heraus, wenn du die Funktion integrierst.
richtig rechnerisch integrieren sollst du eigentlich gar nicht. Du kannst aber den Verlauf skizzieren der beim Integrieren herauskommen würde.
Aufgabe a) musst du rechnen. Schaffst du das?
Ich habe b) trotzdem nicht ganz verstanden. Wie viel beträgt denn die Höhe am Anfang und am Ende? Bei beiden ist es doch 0?
Ich habe b) trotzdem nicht ganz verstanden. Wie viel beträgt denn die Höhe am Anfang und am Ende? Bei beiden ist es doch 0?
Es gibt (in Physik) das S-t Diagramm. Das gibt den Weg über der Zeit an. Die allgemeine Formel für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen ist S(t) = 0,5 * a * t². Hier bei deiner Aufgabe wäre die Formel S(t) = 0,5 * a * t² + s0
Dabei ist s0 eine Konstante. Sie gibt dir an ab welcher Höhe der Ballon startet in t = 0. Die Ableitung der S(t) Funktion ist die v(t) Funktion. Wenn du die S(t) Formel ableitest käme raus:
S'(t) = v(t) = a * t
Die Konstante s0 ist nun entfallen. Du hast nur die v(t) Funktion als Diagramm gegeben. Aus der Grafik kannst du daher nicht erkennen von welcher Höhe der Ballon startet. Es steht aber in der Aufgabe. Die Starthöhe ist s0 = 0 m.
Wie viel beträgt denn die Höhe am Anfang
s0 = 0 m das steht in der Aufgabenstellung.
Wie viel beträgt denn die Höhe am Ende?
Das ist wirklich eine große Aufgabe. Du hast einen v(t) Graphen gegeben. Den müsste man aber Intervallmäßig abbilden, denn eine solche Funktion gibt es (eigentlich) nicht. (Das wäre sonst eine abschnittsweise definierte Funktion)
Intervall 1: 0 bis 25 min
Du siehst im v(t) Diagramm eine linear steigende Funktion. Das Integral wäre hierzu: S(t) = 0,5 * a * t²
a ist nicht gegeben. Das kannst du ersetzen mit v = a * t oder a = v/t. Das eingesetzt ergibt:
S(t) = 0,5 * (v/t) * t² = 0,5 * v * t
25 min = 25 min * 60 s/min = 1500 s
S(t=1500 s) = 0,5 * 1 m/s * 1500 s = 750 m
Nach 25 min erreicht der Ballon eine Höhe von 750 m.
Intervall 2: 25 bis 38 min
Hier hast du eine gleichmäßige Bewegung. Die Geschwindigkeit bleibt immer gleich bei v = 1 m/s. Das bedeutet auch es wird im S(t) Diagramm gleichmäßig eine Strecke fortgeschrieben. Ist die v(t) Funktion konstant so wie hier, ist das Integral die S(t) Funktion eine linear steigende Funktion S(t) = v * t.
38 min - 25 min = 13 min = 13 min * 60 s/min = 780 s
S(t=780s) = 1 m/s * 780s = 780 m
Der Ballon erreicht nach 38 min eine Höhe von 750m + 780m = 1530 m
Intervall 3a: 38 bis 43 min
Die Steiggeschwindigkeit des Ballons nimmt nun langsam ab. Bei Minute 43 ist die Steiggeschwindigkeit 0. Genau an diesem Punkt würde der Ballon auf einer Höhe schweben. Bis Minute 48 fällt er wieder. Die v(t) Funktion ist nun keine Konstante mehr sondern wieder eine lineare Funktion mit negativer Steigung. Das Integral, also die S(t) Funktion ist eine Parabel der Form S(t) = 0,5 * a * t² = 0,5 * v * t
48 min - 38 min = 10 min = 600 s
Steigend: 43 min - 38 min = 5 min = 300 s
S(t=300) = 0,5 * 1 m/s * 300s = 150 m
Der Ballon steigt um 150 m im Intervall 38 bis 43 min. Seine Höhe beträgt dann 750m + 780m +150 = 1680 m
Intervall 3b: 43 bis 48 min
Sinkend: 48 min - 43 min = 5 min = 300 s
S(t=300) = 0,5 * -1,2 m/s * 300s = -180 m
Der Ballon sinkt im Intervall 43 min - 48 min um -180 m und hat nun eine Höhe von 750m + 780m +150 -180 = 1500 m
Intervall 4: 48 bis 65 min
Gleichmäßige Bewegung, da v = -1,2 = konstant d.h. S = v * t
65 min - 48 min = 17 min = 17 * 60 = 1020 s
S(t=1020s) = -1,2 m/s * 1020 s = -1224 m
Ballonhöhe: 750m + 780m +150 -180 -1224 = 276 m
Intervall 5: 65 bis 70 min
5 min = 300 s
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
S(t=300s) = 0,5 * -1,2 * 300s = -180 m
Ballonhöhe: 750m + 780m +150 -180 -1224 -180 = 96 m
Antwort: Der Ballon landet auf einem ca. 100 m hohen Hügel.
da der Graph ja auf der selben Höhe endet wie er anfängt…
Der Graph zeigt nicht die Höhe des Ballons an, sondern dessen Geschwindigkeit.
Wie integriere ich die Funktion?