Integral und Flächeninhalt?
Ich bräuchte dringend Hilfe bei der Nummer 16?
1 Antwort
Hallo,
zunächst einmal ist die Funktion 9-x² achsensymmetrisch zur y-Achse und hat die Nullstellen 3 und -3.
Wegen der Symmetrie reicht es aus, nur von 0 bis 3 zu integrieren. Da F(0)=0, reicht es, F(3) zu berechnen, also in 9x-(1/3)x³ für x eine 3 einzusetzen, was 27-9=18 ergibt.
Daß dies nur die halbe Fläche unter der Kurve ist, macht überhaupt nichts, die Fläche links von der y-Achse ist gleich groß und spielt weiter keine Rolle.
Nun soll eine Parallele zur x-Achse so gezogen werden, daß sie die Fläche unter der Kurve in zwei gleich große Hälften teilt, eine oberhalb der Parallele, eine unterhalb bis zur x-Achse.
Da die Fläche vorher rechts von der y-Achse 18 betrug, soll sie nun die Hälfte, also 9 ergeben.
Nenn die Parallele a, dann muß gelten: Die Fläche zwischen der Funktion und a muß 9 ergeben. Dazu brauchst Du erst den Schnittpunkt zwischen a und f(x), also gleichsetzen: 9-x²=a, also x²=9-a und x=Wurzel (9-a).
Du integrierst also 9-x²-a von 0 bis Wurzel (9-a) und mußt a so wählen, daß dabei 9 herauskommt.
Stammfunktion ist einfach: 9x-(1/3)x³-ax.
Da auch hier F(0) 0 ergibt, reicht es, die obere Grenze einzusetzen und nach a aufzulösen:
9*(Wurzel (9-a)-(1/3)*(Wurzel (9-a))³-a*Wurzel (9-a)=9.
Das muß nach a aufgelöst werden. Der harte Weg: Alles quadrieren; dazu wünsche ich viel Freude. Ich mach das nicht.
Ich substituiere Wurzel (9-a)=z, also 9-a=z² und a=9-z².
Dann bekomme ich folgendes: 9z-(1/3)z³-(9-z²)*z=9
9z-(1/3)z³-9z+z³=9.
Die Terme 9z und -9z heben sich auf.
Es bleibt -(1/3)z³+z³=9, also (2/3)z³=9, somit z³=27/2 und z=3. Wurzel (27/2).
Da a=9-z², ist a=9-(3. Wurzel (27/2))²=3,330355275.
Herzliche Grüße,
Willy