Injuktiv, surjetktiv und bjektiv?

 Wie überprüfe ich mathematisch, ob die Funktion (x) = 2^x. Ich weiß, dass es injuktiv ist, weil ich den Graphen gegoogelt habe und es daraus sehen kann aber, wenn ich nicht weiß, wie der Graph aussieht, wie überprüfe ich das mathematisch?

Answer 1

[Willibergi]

Definiere erstmal die Abbildung sauber, denn davon hängt insbesondere ab, ob die Funktion surjektiv ist. Wir definieren:

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto2^x$

Injektivität beweisen wir, indem wir zeigen, dass eine Gleichheit der Funktionswerte automatisch auch eine Gleichheit der Argumente impliziert:

$f\text{ ist}\ \text{injektiv}\ :\Leftrightarrow\forall x_1,x_2\in\text{dom}f:f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2$

Gelte also

$2^{x_1}=2^{x_2}$

dann erhalten wir durch Anwenden des binären Logarithmus

$\log_22^{x_1}=\log_22^{x_2}\Leftrightarrow x_1=x_2$

also ist f injektiv.

f ist nicht surjektiv,

$f\ \text{ist}\ \text{surjektiv}\ :\Leftrightarrow\forall y\in\mathbb{R}\ \exists x\in\mathbb{R}:\ f\left(x\right)=y$

dafür geben wir einfach einen Wert der Zielmenge an, auf den nicht abgebildet wird: Zum Beispiel -1, denn

$2^x>0>-1\ \forall x\in\mathbb{R}$

Schränken wir die Zielmenge allerdings auf die positiven reellen Zahlen ein, kann die Funktion auch surjektiv sein,

$f^*:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+,\ x\mapsto2^x$

ist beispielsweise surjektiv und damit auch bijektiv, denn es gilt

$y\in\mathbb{R}^+\Rightarrow f^*\left(\log_2y\right)=2^{\log_2y}=y$

und

$\log_2y\in\mathbb{R}\ \forall y\in\mathbb{R}^+$

(das gilt nur, weil das y nicht nicht-positiv sein kann, sonst wäre der Logarithmus nicht definiert).

Answer 2

[davebot]

Injektiv heißt ja, dass für x1 ungleich x2 folgendes gelten muss: f(x1) ungleich f(x2).
Also setzen wir f(x1) und f(x2) einfach mal gleich, damit wir im falle der Injektivität einen Widerspruch bekommen:

2^(x1) =2^(x2)     || Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden

<=> x1=x2, was jedoch unserer Annahme von x1=x2 widerspricht. Also ist die Funktion injektiv.

Surjektivität kannst du leicht widerlegen, indem du dir einfach einen Wert im Wertebereich aussuchst, der nicht abgebildet wird. Zum Beispiel eine beliebige negative zahl

Gruß davebot

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ehemaliger Mathestudent & War schon immer ein Zahlenfreund

Comments

[zeboy45]

"x1=x2, was jedoch unserer Annahme von x1=x2 widerspricht" Hä? Da ist doch das Gleich, also hast du die Annahme getroffen?

[davebot]

@zeboy45

Ganz offensichtlich hab ich mich da verschrieben, da die Annahme wie in der ersten Zeile ein =/ bzw ein ungleich war. Sämtliche Schlussfolgerungen sind dennoch richtig, ich hab mich nur kurz verschrieben, wie man mit kurzem hinsehen erkennen kann