Ich freue mich sehr über eure Hilfe!?
Die Entfernungen zwischen drei Kirchtürmen A, B und C betragen c = 4,1km, a = 5,7km und b = 3,2km. Bestimme die Größe der drei Sehwinkel (α; β und γ), unter denen man von jedem der drei Türme die beiden anderen Türme sieht.
Was muss ich rechnen, damit ich zuerst auf einen Winkel komme?
5 Antworten
Ich würde zunächst eine Skizze machen und die gegebenen Längen eintragen.
Der Kosinussatz stellt eine Beziehung zwischen drei gegebenen Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her. Mit ihm kann man jeden Winkel berechnen.
a² = b² + c² -2*b*c*cos Alpha
umformen ...
(a² -b² -c²):(-2*b*c)= cos Alpha
(5,7² -3,2² -4,1²):(-2*3,2*4,1) = cos Alpha
cos ^-1 (arccos)
Alpha = 101,97°
Den Winkel Beta kannst du ebenso mit
b² = a² + c² -2*a*c*cos Beta bestimmen
Für den dritten Winkel Gamma
gibt es
c² = a² +b² -2*a*b*cos Gamma
Mit der Winkelsumme kannst du dann überprüfen, ob die Rechnungen stimmen.
Im Endeffekt handel es sich um ein Dreieck mit den Katheten a=3.2km, c=4.1km und der Hypotenuse b=5.7km
Zeichne das Dreieck in einem geeigneten Maßstab.
Mithilfe des Kosinussatzes c²=a²+b²-2*a*b*cos(γ)
bzw. seinen anderen Formen
b²=a²+c²-2*a*c*cos(β)
und
a²=b²+c²-2*a*b*cos(α)
errechnest du nun die Winkel.
Der jeweilige Winkel liegt immer gegenüber der Seite auf der linken Seite der Gleichung, α liegt also gegenüber von a, etc.
Vielen Dank, ich habe nun die Lösung durch Ihren Vorschlag herausbekommen.
Ist einer der Winkel ein Rechter Winkel ?
--> Winkelsummensatz
Sind nur die Seiten Gegeben ?
--> Kosinussatz
Schlag dazu am besten in einer Formelsammlung nach.
Danke, für den Vorschlag mit dem Kosinussatz. Ich habe die Winkelgrößen gerade herausbekommen.
Für die Lösung brauchst Du den Kosinussatz:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kosinussatz
Damit kannst Du jeden Winkel aus den drei Seiten berechnen.
Kosinussatz nach Winkel umstellen