Hilfe Matheaufgabe?

Aufgabe:

In einem Mechanismus befinden sich drei Zahnräder mit 32, 225, und 100 Zähnen, die so ineinandergreifen, dass durch das Drehen eines Zahnrades auch die anderen gedreht werden. Die Position eines Zahnrades ist eindeutig zu erkennen (beispielsweise durch einen eingefärbten Zahn). Am Zahnrad mit 32 Zähnen ist eine Kurbel angebracht. Nach wie vielen Umdrehungen dieses Zahnrades nehmen alle drei Zahnräder erstmalig wieder ihre anfängliche Position ein? Hängt die Antwort auf die Frage von der konkreten Anordnung der Zahnräder ab, also beispielsweise von ihrer Reihenfolge?

Ansatz:

Welcher Rechenweg ist richtig?

kgV (32, 100, 225) = 7200

7200 : 32 = 225

oder

kgV (32, 100) = 800

kgV (32, 225) = 7200

800 : 32 = 25

7200 : 32 = 225

kgV (25, 225) = 225

Und zur letzten Frage wäre das richtig?:

Die Antwort hängt nicht von der Anordnung der Zahnräder ab, da sich alle Zahnräder synchron bewegen, sobald das Zahnrad mit der Kurbel in Bewegung gesetzt wird.

Answer 1

[Marvin126]

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir den kleinen gemeinsamen Teiler (kgV) der Anzahl der Zähne der drei Zahnräder finden. Der kgV von 32, 225 und 100 ist 900. Das bedeutet, dass die drei Zahnräder erst nach 900 Umdrehungen des Zahnrades mit 32 Zähnen ihre anfängliche Position wieder einnehmen werden.

Das ist richtig. Da die Zahnräder ineinandergreifen und das Zahnrad mit der Kurbel das Antriebsrad ist, bewegen sich alle Zahnräder immer synchron, unabhängig von ihrer Anordnung im Mechanismus. Die Anzahl der Umdrehungen des Zahnrades mit der Kurbel, die benötigt werden, um alle Zahnräder wieder in ihre anfängliche Position zu bringen, hängt nur von der Anzahl der Zähne der Zahnräder und deren Verhältnis zueinander ab und ist unabhängig von der Anordnung der Zahnräder.

Rechenweg:

1. Der erste Schritt besteht darin, den kleinen gemeinsamen Teiler (kgV) der Anzahl der Zähne der drei Zahnräder zu finden. Der kgV (gcd in englisch) ist die größte Zahl, die alle Zahnräder teilen.
2. Der kgV von 32, 225 und 100 kann mithilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden:
3. gcd(32, 225) = gcd(32, 100) = gcd(32, 25) = 1
4. Daher ist der kgV von 32, 225 und 100 gleich 900 = 32 * 25 * 1
5. Da die drei Zahnräder synchron bewegt werden, wenn das Zahnrad mit der Kurbel gedreht wird, ist die Anzahl der Umdrehungen des Zahnrades mit der Kurbel, die benötigt werden, um alle Zahnräder wieder in ihre anfängliche Position zu bringen, gleich dem kgV der Anzahl der Zähne der Zahnräder. In diesem Fall ist die Anzahl der Umdrehungen 900.

Comments

[Siri080703]

Ich denk der kgV von 32, 100, 225 ist 7200?

Und bei 4. ist doch 32 * 25 * 1 = 800 und nicht 900