Hilfe bei einer Matheaufgabe. Weiß nicht weiter
"Das Cäsium-Isotop Cs-137 hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Nach welcher Zeit ist seine Masse auf ca. 10%, 1 % bzw. 0,1% des ursprünglichen Werts gesunken.
Irgentwelche Ideen?
5 Antworten
Zunächst ist der Wachstumfaktor (hier:Abnahme) zu ermitteln. Eine beliebte Formel ist:
y = c * a ^ n
c Anfangswert
y Endwert
a Wachstumfaktor
n Perioden (Jahre)
Hier gilt c/2 = c *a^30
a^30 = 0,5 (schon umgerechnet), daher
Das ist mit dem Ziehen der 30. Wurzel erledigt:
a = 0,97716
10% sind 0,1 (bei einem Anfangswert von 1). Daher:
0,1 = 0,97716 ^n .... ich suche ja die Jahre, d.h. Logarithmieren
ln 0,1 = n * ln 0,97716
n = ln 0,97716 / ln 0,1 .... der Zehner-Log wäre auch gegangen
n = 99,6 Jahre
Die anderen sind genauso zu berechnen.
1% ≙ 0,01
0,1% ≙ 0,001
Bisschen Logarithmieren lernen:
http://www.gutefrage.net/tipp/logarithmus-infernalis
Vor allem wird das 3. Log-Gesetz gebraucht.
Halbwertszeit heißt, nach 30 Jahren sind es nur noch 50%. Um auf 10% zu kommen, brauchst du noch eine Abnahme von 40%, wenn du weißt, dass es in 30 Jahren um 50% abnimmt, kannst du den Rest über den Dreisatz berechnen :)
Es wurde ausdrücklich gesagt das wir keinen Dreisatz verwenden dürfen.
30 X 1 4/5 :)
Also 30 X 1,8 =54
für 1%
30 X 1 49/50
30 X 1,98 = 59,4
für 0,1%
30 X 1 499/500
30 X 1,998 = 59,94
Du kannst das alles ganz leicht mit expotentiellen funktionen lösen. Also gleichung machen ausrechnen fertig
Erstmal Gleichung haben, dann ausrechnen. Fertig!
Und auch daran denken: erst Wurzel ziehen (Wachstumsfaktor),
dann Logarithmieren (Zahl der Jahre).
Und ganz leicht ist es eigentlich auch nicht,
Du brauchst ein Physik-Formelbuch.Hier stehen die Formeln für Zerfallsgesetze
Dieses lautet N= No/ 2^t/T gross T ist die Halbwertszeit hier 30 Jahre, t ist die Zeit in der noch N Kerne vorhanden sind.
No Kerne am Anfang ,N Kerne am Ende N=No / 100 % * 10 % (oder auch 1% u. 0,1 %
Formel umgestellt : 2^t/T = No/N ersetze a= No/N und b= t/T ergibt
2^b= a aus dem Mathe-Formelbuch 3^2=9 log (9) / log (3)= 2 also gilt
b=log(a) /log(2) Erinnerung b= t/T also ergibt sich
t = log(a) / log(2) * T Erinnerung a=No/N mit No/N = (No/No) * 100% / 10% = 100%/10%
t = ( log( 100%/10%) / log (2) ) * T
prüfe auf Rechenfehler !! bei den anderen werten setzt du statt 10% ,1% und 0,1% ein.
Da oben sehen folgende Zeilen schlecht aus (hier jetzt besser verteilt):
10% sind 0,1 (bei einem Anfangswert von 1).
Daher:
0,1 = 0,97716 ^n .... ich suche ja die Jahre, d.h. Logarithmieren
ln 0,1 = n * ln 0,97716
n = ln 0,97716 / ln 0,1 .... der Zehner-Log wäre auch gegangen
n = 99,6 Jahre
Dann sind nur noch 10% da