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Der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades schneidet die y - Achse im Punkt

P(0|2) und ist achsensymmetrisch zur y - Achse. Im Punkt Q (2|-2) hat die Funktion ein lokales Minimum.

Ermittle die Funktionsgleichung der Polynomfunktion f.

Answer 1

[mihisu]

Ansatz für eine Polynomfunktion, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist...
[Wegen der Symmetrie treten nur gerade Exponenten von x auf.]

$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c$

Da die Funktion durch den Punkt P(0|2) verlaufen soll, muss f(0) = 2 sein, weshalb man c = 2 erhält.

$f(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+2$

Die Funktion soll durch den Punkt Q verlaufen, weshalb f(2) = -2 sein muss...

$a\cdot 2^4+b\cdot 2^2+2=0$

$\rightarrow\quad [1]:\quad 16a+4b+2=0$

Da die Funktion im Punkt Q(2|-2) ein lokales Minimum haben soll, muss f′(2) = 0 sein. Mit dem Ansatz f(x) = a x⁴ + b x² + 2 erhält man für die Ableitung f′(x) = 4a x³ + 2b x und dementsprechend für die durch f′(2) = 0 gegebene Bedingung...

$4\cdot a\cdot 2^3+2\cdot b\cdot 2=0$

$\rightarrow\quad [2]:\quad 32 a+4 b=0$

Die Gleichungen [1] und [2] bilden nun ein lineares Gleichungssystem, mit dem man die Koeffizienten a und b bestimmen kann. Zum Lösen dieses Gleichungssystems kann man beispielsweise zunächst [2] nach b auflösen...

$\rightarrow\quad 4b=-32a$

$\rightarrow\quad b=-8a$

Setzt man b = -8a in [1] ein, erhält man eine Gleichung, die man nach a auflösen kann...

$16a+4\cdot \left(-8a\right)+2=0$

$\rightarrow\quad 16a-32a+2=0$

$\rightarrow\quad -16a+2=0$

$\rightarrow\quad -16a=-2$

$\rightarrow\quad a=\frac{1}{8}$

Setzt man a = 1/8 in b = -8a ein, erhält man...

$b=-8\cdot \frac{1}{8}=-1$

Nun kann man die gesuchte Funktionsgleichung angeben...

$f(x)=\frac{1}{8}x^4-x^2+2$

Answer 2

[Applwind]

f(0)=2

alle ungeraden Exponenten sind null

f(2)=-2

f‘(2)=0

mit f(x)= ax^4+cx^2+d kannst du nun alle oberen Informationen einsetzen (Ableitung nicht vergessen) und das LGS aufstellen.