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Der Graph einer Polynomfunktion f vierten Grades schneidet die y - Achse im Punkt
P(0|2) und ist achsensymmetrisch zur y - Achse. Im Punkt Q (2|-2) hat die Funktion ein lokales Minimum.
Ermittle die Funktionsgleichung der Polynomfunktion f.
2 Antworten
Ansatz für eine Polynomfunktion, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist...
[Wegen der Symmetrie treten nur gerade Exponenten von x auf.]
Da die Funktion durch den Punkt P(0|2) verlaufen soll, muss f(0) = 2 sein, weshalb man c = 2 erhält.
Die Funktion soll durch den Punkt Q verlaufen, weshalb f(2) = -2 sein muss...
Da die Funktion im Punkt Q(2|-2) ein lokales Minimum haben soll, muss f′(2) = 0 sein. Mit dem Ansatz f(x) = a x⁴ + b x² + 2 erhält man für die Ableitung f′(x) = 4a x³ + 2b x und dementsprechend für die durch f′(2) = 0 gegebene Bedingung...
Die Gleichungen [1] und [2] bilden nun ein lineares Gleichungssystem, mit dem man die Koeffizienten a und b bestimmen kann. Zum Lösen dieses Gleichungssystems kann man beispielsweise zunächst [2] nach b auflösen...
Setzt man b = -8a in [1] ein, erhält man eine Gleichung, die man nach a auflösen kann...
Setzt man a = 1/8 in b = -8a ein, erhält man...
Nun kann man die gesuchte Funktionsgleichung angeben...
f(0)=2
alle ungeraden Exponenten sind null
f(2)=-2
f‘(2)=0
mit f(x)= ax^4+cx^2+d kannst du nun alle oberen Informationen einsetzen (Ableitung nicht vergessen) und das LGS aufstellen.