Herleitung der cardanischen Formel?

Ich verstehe die Herleitung bis zu einem gewissen Punkt, und zwar bis man auf

p=-3uv und

q=-u^3 - v^3 kommt, aber dann nicht mehr.

Kann mir jemand dann weiter helfen? Und bitte keine Links von wikipedia oder anderen Seiten. Habe die alle gesehen, aber es werden immer Schritte weg gelassen.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das nächste Ziel ist es, u³ und v³ zu berechnen und das sind gerade die Nullstellen des Polynoms (x - u³)(x - v³). Wenn man das ausmultipliziert, erhält man

$(x- u^3)(x - v^3) = x^2 -(u^3 + v^3)x + u^3 v^3 = x^2 +(-u^3 - v^3)x - \left(\frac{-3uv}{3}\right)^3$ Und hier kann man durch p und q ersetzen.

p=-3uv und

q=-u^3 - v^3

$x^2 +(-u^3 - v^3)x - \left(\frac{-3uv}{3}\right)^3 = x^2 +qx - \left(\frac{p}{3}\right)^3$ Die Nullstellen dieses quadratischen Polynoms, quadratische Resolvente genannt, sind also u³ und v³. Wenn es keine reelle Nullstellen gibt, liegt der casus irreducibilis vor, und man muss mit komplexen Zahlen Arbeiten. Mit der dritten Wurzel kommt man dann auf u und v. Dafür gibt es im Komplexen drei Möglichkeiten. Wegen p=-3uv ergibt sich aus dem Wert für u der Wert für v und umgekehrt, sodass es am Ende auch nur drei Lösungen gibt.