Hatten die Kreuzritter damals eine eigene Flagge?

Ja. Oben.

Es gab mehrere Ritterorden und jeder Ritterorden hatte natürlich eine eigene Flagge.

Der heute bekannteste, war der Templerorden, denn seine Zerschlagung durch den Papst und den Königen Europas, allen vorran den französischen König, war spektakular.

Weitere sehr bedeutende Ritterorden waren die Johanniter und Malteser. Eine Übersicht findest du hier https://de.wikipedia.org/wiki/Ritterorden

Das rote Tatzenkreuz auf weißem Grund. Das zierte auch deren Mäntel.

Nein. Ein Kreuzritter trug sein eigenes Wappen oder das seines Ordens. Es gab keine Uniformierung.

Als Papst Urban auf die Bitte des vom Islam bedrohten Konstantinopel 1098 zum ersten Kreuzung aufrief, gab es noch keine Wappen.

Es gab auch noch keinen Ritterstand! Um sich gehen die Ungarnüberfälle zu schützen, wurden im Jahrhundert zuvor bewaffneten Unfreien kleinere Ländereien an der Grenze gegeben, dass diese sich aus den Erträgen versorgen und ausrüsten konnten. Ein Erfolgsrezept, wie die siegreiche Schlacht 955 auf dem Lechfeld gegen die nomadisch lebenden Ungarn zeigte.

Die zumeist noch undfreien Panzerreiter aus denen spät die Ritter entstanden (diese Entwicklung hatte unter den Ottonen gerade begonnen) sowie Adlige hatten noch keine Wappen. Die Schilde waren nur verziert, bemalt und oft nicht einmal das. Wappen waren es nicht.

Die das Kreuz nahmen, nähten sich ein rotes Kreuz auf die Kleidung zum Zeichen, dass sie nun eben auf Kreuzzug waren. Die Kleidung war weder einheitlich, noch gab es Fahnen in dem Sinne, dass diese eine übergeordnete strukturgebende Bedeutung hatten. Es werden viele verschiedene Fahnen und Banner mit Kreuzen gewesen sein, verschiedene Formen und Farben.

Selbst als später schon die Ritterorden gegründet wurden, blieben die Ordensritter (jetzt schon niederer Adel) in ihrer eigenen Kleidung. Nur ebenfalls wieder mit einem Kreuz auf Brust und Rücken. Erst allmählich und über 200 Jahre entwickelte sich nach und nach ein einheitliches Aussehen, welches dann etwa 1350 dem entspricht, was du dir unter einem Ordensritter vorstellst.

Das Symbol eines Ordens wurde ebenfalls erst mit der Zeit zu einer Fahne.

Dann aber hatten die Ordensritter ein Mönchsornat, welches aber nicht im Kampf getragen wurde. Weite Ärmel, fließende Kleidung über Ringpanzer mögen cool aussehen, behindert aber die Bewegung.

Titelblatt mit normannischen Panzerreitern, wie sie auch auf dem ersten Kreuzung aussahen. Die Pferde sind zu groß, die Schildbemalung nordisch beeinflusst, aber ansonsten exakt. Der Helm links ist allerdings ein späteres Modell (s.u.).

Ritter im 1250. Eng anliegende Ringpanzer, noch offener Helm allerdings bereits aus einem Stück, es ist eine Beckenhaube, Wappen (Vorläufer) und Wappenrock. Der Ringpanzer bedeckt nun auch Arme und Beine vovollständig. Der Schild ist kleiner geworden. In dieser Zeit kamen die geschlossenen Topfhelme auf, die das Gesicht schützen.

Auch da trugen die Ordensritter noch ihre eigene Kleidung.