Hallo liebe Leute habe ne Frage zu Physik/ Mechanik?
Eine Scheibe wird aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Winkelbeschleunigung a=1rad/s^2- Wie lange dauert es bis sich die Scheibe um einen Winkel 12.5rad gedreht hat? Wieviele Umdrehungen hat die Scheibe dann ungefähr ausgeführt?
Ich komme überhaupt nicht auf den Ansatz.12.5rad entsprechend knapp2 Umdrehungen das ist mir klar.
Die Antwort soll 5sekunden sein und die winkelgeschwindigkeit entspricht 2pi/s, die geschwindigkeit ist 126000 m/s.
5 Antworten
Bei uns in der Schule war es üblich, die Winkelbeschleunigung als α zu bezeichnen.
Für Winkel φ, Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung α gelten dieselben Beziehungen wie bei translatorischen Bewegungen in 1D.
Allgemein ist
(1.1) ω = dφ/dt
(1.2) α = dω/dt = d²φ/dt².
und dies heißt im Umkehrschluss
(2.1) ω(t₂)= ω(t₁) + ∫_{t₁}^{t₂} dt {α(t)}
(2.2) φ(t₂) = φ(t₁) + ∫_{t₁}^{t₂} dt {ω(t)}
= φ(t₁) + ω(t₁)(t₂ – t₁) + ∫_{t₁}^{t₂} dt {α(t)}.
Wenn α = const. ist, vereinfacht sich (2) zu
(2.1) ω(t₂) = ω(t₁) + α(t₂ – t₁)
(2.2) φ(t₂) = φ(t₁) + ω(t₁)(t₂ – t₁) + ∫_{t₁}^{t₂} dt {α·t}
= φ(t₁) + ω(t₁)(t₂ – t₁) + ½α(t₂ – t₁)².
Wenn jetzt noch ω(t₁) = 0 und φ(t₁) = 0 ist, bleibt nur ½α(t₂ – t₁)² übrig. Mit der Setzung t:=t₂, t₁=0 reduziert sich das auf
(3.1) ω(t) = α·t
(3.2) φ(t) = ½α·t².
Ich komme überhaupt nicht auf den Ansatz.12.5rad entsprechend knapp2 Umdrehungen das ist mir klar.
Damit wäre die zweite Frage beantwortet. Für die erste musst Du (3.2) nach t umstellen:
(4) √{2φ/α} = t = √{25rad/(1rad/s²)} = √{25s²} = 5s
Wenn Du damit gemäß (3.1) α multiplizierst, dann kommt
(5) ω(t) = √{2φ·α} = √{25rad·1rad/s²} = √{25rad²/s²} = 5rad/s
heraus. Somit kann ich an
Die Antwort soll 5sekunden sein und die winkelgeschwindigkeit entspricht 2pi/s, die geschwindigkeit ist 126000 m/s.
nur das erste bestätigen.
Die Winkelgeschwindigkeit wächst und erreicht im Moment, als φ = 12,5 rad erreicht, einen etwas kleineren Wert als 2π(rad)/s, nämlich 5(rad)/s.
Die Geschwindigkeit in m/s mag der Rand der Scheibe haben, wenn sie entsprechend groß ist, nämlich
(6) 126000m/s/(5/s) = 25200m.
Bitte korrigiert mich, wenn ich mich verrechne oder Denkfehler gemacht haben sollte. Ich habe aber nach bestem Wissen und Gewissen gerechnet.
Mist! Bei der Nummerierung ist mir schon einmal ein Fehler unterlaufen, den ich natürlich genau in dem Moment gemerkt habe, als ich es nicht mehr korrigieren konnte.
Die Nummerierungen sind ab den 2. (2.n.1-2) um 1 zu erhöhe
Eine Scheibe wird aus der Ruhe heraus mit einer konstanten Winkelbeschleunigung a=1rad/s^2
Fehlt da nicht das Verb?
Ohne ein Verb ist nicht nur eine Aussage sinnlos, sondern auch eine Frage.
Oder ich da?
φ = α/2 * t^2
t ^2 = 2φ / α = 25 rad / 1 rad/s^2 = 25 s^2
t = 5 s
ω = α * t= 1 rad/s^2 * 5 s = 5 rad/s = 5 / 2pi rad / (s * rad) = 0,8 s^-1 = 48 min^-1
Die entsprechende Bahngeschwindigkeit am Rande der Scheibe kann man nur ausrechnen, wenn man deren Radius kennt.
Der mathematische Formelapparat für die Drehbeschleunigung / Drehgeschwindigkeit / Drehwinkel ist genau der gleiche wie für lineare Bewegungen:
v = ds / dt entspricht omega = d(phi) / dt
a = dv / dt entspricht a = d(omega) / dt
und falls Ihr Differentiale und Integrale noch nicht hattet:
Dem Spezialfall (nämlich Anfangsgeschwindigkeit = 0)
s = a/2 * t² mit a = linearer Beschleunigung
entspricht phi = a/2 * t² mit a = Winkelbeschleunigung.
Wir haben hier weitestgehende Analogie zum linearen Fall.
s = 1/2 a t^2
φ = 1/2 a t^2
Die letzte Gleichung nach t umstellen.
Die Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus
ω = a t
Für dei Geschwindigkeit brauchen wir noch einen Radius oder ähnliches.
v = ω r