Hallo, ich bin nicht sicher ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe, kann bitte jemand meine Lösung angucken und sagen ob sie so richtig ist?
Die Aufgabe lautet: Eine Population hat zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn 563 Individuen. Weitere fünf Sunden später sind es 4271 Individuen. Stellen Sie die Gleichung der Bestandsfunktion N auf und berechnen Sie, wann 1000000 Individuen vorhanden sind.
Meine Lösung:
I: C*a^2=563
II: C*a^7=4271
I: C=563/a^2
I in II
563*a^5=4271
a^5=7,6
a=1,5
C= 563*1,5^2
C=1266,75
N(t)=1266,75*1,5^t
N(t)=1000000=1266,75*1,5^t
789,42= 1,5^t
ln(789,42)/ln(1,5)= 16,5
Vielen Dank im Voraus :D
4 Antworten
Dein Fehler liegt darin, dass du C=563*1,5^2 ausrechnest, aber eigentlich die richtige Formel C=563/1,5^2 ist.
Oh stimmt, dann muss die Gleichung N(t)=250,2*1,5^2 heißen. Danke
Hallo,
Du kannst nach der Formel P=a*e^(b*t) vorgehen, wobei P die Population ist und t die Zeit in Stunden.
So gilt: a*e^(2b)=563 und a*e^(5b)=4271
a=563/[e^(2b)]
einsetzen in die andere Gleichung:
[563*e^(5b)]/e^(2b)=4271
e^(3b)=4271/563
3b=ln (4271/563)
b=(1/3)*ln (4271/563)=0,6754412142
Dann ist a=563/[e^(2*0,6754412142=145,8235311
Die Gleichung lautet also P=0,6754412142*e^(145,8235311*t)
Wenn Du p gegeben hast und t suchst, löst Du die Gleichung folgendermaßen auf:
p=a*e^(bt)
e^(bt)=p/a
bt=ln (p/a)
t=(1/b)*ln (p/a)
Jetzt nur noch die entsprechenden Werte einsetzen:
t=(1/0,6754412142)*ln (1.000.000/145,8235311)=13,07754572=13h04m39s
Herzliche Grüße,
Willy
Die Population von 4271 ist nach 7 Stunden erreicht nicht nach 5. Weiterhin hast du in der Endgleichung a und b verwechselt.
Die Gleichung lautet also P=0,6754412142*e^(145,8235311*t)
Du kannst das auch noch anders berechnen: 563*a^5=4271
Dann ist a die fünfte Wurzel aus 4271/563=1,499699461, es liegt also ein Wachstum von 49,97 % vor.
Der Ausgangswert zur Stunde Null liegt dann bei 563/1,499699461²=
250,3225212, also bei 250 Individuen. Bei solchen Aufgaben sollte gerundet werden.
Dann ist 250*1,4997^t=1.000.000
1,4997^t=4000
t=[ln (4000)]/[ln (1,4997)]=20,47 Stunden=20h28m12s
Herzliche Grüße,
Willy
Also auf den Ersten Blick würde ich sagen, kann so nicht sein.
Wenn du jetzt in deine N(t) Gleichung 2 Stunden für t einsetzt, müsste ja eigentlich 563 rauskommen:
N(2)=1266,75*1,5^2=2850,75
Für N(7) kommt 21647,8828125 raus, müsste aber eigentlich 4271 rauskommen.
scheint zu stimmen, habe die werte nicht nachgerechnet, rechenweg passt aber :D
Hallo,
habe mich vertan. Bei 4271 sind ja bereits sieben Stunden vergangen. Dann müssen entsprechend veränderte Werte eingesetzt werden.
a ist dann 250,322521 und b=0,40526472