Größte Wachstumsrate bei beschränktem exponentiellen Wachstum?
Hallo an alle!
Ich habe eine Aufgabe, bei der es um das Wachstum eines Baumes geht, wobei dieses durch die folgende Funktion beschrieben wird:
H(t)=20-19,5*e^(-0,02t)
(t in Jahren, H in Meter)
Wie begründe ich, dass die jährliche Wachstumsrate zu Beginn am größten war? Und wie errechne ich, wann sie weniger als 10cm pro Jahr betragen wird?
Vielen Dank für alle Antworten!
2 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wachstumsrate = Ableitung
zu Beginn ist die Ableitung am größten, danach nimmt sie immer weiter ab (nähert sich 0)
bei weniger als 10cm/Jahr: da muss die Ableitung kleiner als 0,1m/Jahr sein
also H'(t)=0,1 als Grenzfall ausrechnen
dann als Lösung t>... angeben
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das Schaubild ist streng monoton fallend
vielleicht habe ich mich mit Grenzfall ungenau ausgedrückt: einfach H'(t)=0 setzen und nach t auflösen. Bei diesem t beträgt dann die Wachstumsrate genau 0,1, für größere t ist sie geringer
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Also kann ich einfach hinschreiben, dass der Graph der 1. Ableitung streng monoton fallend ist? Ich muss es nicht beweisen?
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du kannst es mit dem asymptotischen Verlauf des Schaubilds für große Werte von t begründen
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Indem ich das so hinschreibe, den Graph zeichne oder anders?
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Ich habe es jetzt so formuliert:
Die 1. Ableitung ist streng monoton fallend und nähert sich für große Werte von t der Asymptote y=0 an. Die Wachstumsrate wird immer kleiner, wodurch sie zu Beginn am größten ist.
Davor habe ich lim H'(t) = 0 für t gegen unendlich berechnet.
Reicht das als Antwort?
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Kimanon/1721381673487_nmmslarge__0_0_487_487_3fcce34ce555dd29633fc6e30c8fb957.jpg?v=1721381674000)
Sagst du dass die Funktion fallend ist, da e⁰=1 ist. Bei t>0 wird -19,5 immer kleiner.
Setzt du t=1 ein und rechnest aus. Müsste deiner Vermutung nach H(1) < 0,1 m betragen.
Also kann ich als Beweis für die streng monoton fallende Wachstumsrate das Verhalten gegen 0 Null angeben?
Wie berechne ich H'(t)=0,1 als Grenzfall?