Größte Wachstumsrate bei beschränktem exponentiellen Wachstum?
Hallo an alle!
Ich habe eine Aufgabe, bei der es um das Wachstum eines Baumes geht, wobei dieses durch die folgende Funktion beschrieben wird:
H(t)=20-19,5*e^(-0,02t)
(t in Jahren, H in Meter)
Wie begründe ich, dass die jährliche Wachstumsrate zu Beginn am größten war? Und wie errechne ich, wann sie weniger als 10cm pro Jahr betragen wird?
Vielen Dank für alle Antworten!
2 Antworten
Wachstumsrate = Ableitung
zu Beginn ist die Ableitung am größten, danach nimmt sie immer weiter ab (nähert sich 0)
bei weniger als 10cm/Jahr: da muss die Ableitung kleiner als 0,1m/Jahr sein
also H'(t)=0,1 als Grenzfall ausrechnen
dann als Lösung t>... angeben
das Schaubild ist streng monoton fallend
vielleicht habe ich mich mit Grenzfall ungenau ausgedrückt: einfach H'(t)=0 setzen und nach t auflösen. Bei diesem t beträgt dann die Wachstumsrate genau 0,1, für größere t ist sie geringer
Also kann ich einfach hinschreiben, dass der Graph der 1. Ableitung streng monoton fallend ist? Ich muss es nicht beweisen?
du kannst es mit dem asymptotischen Verlauf des Schaubilds für große Werte von t begründen
Indem ich das so hinschreibe, den Graph zeichne oder anders?
Ich habe es jetzt so formuliert:
Die 1. Ableitung ist streng monoton fallend und nähert sich für große Werte von t der Asymptote y=0 an. Die Wachstumsrate wird immer kleiner, wodurch sie zu Beginn am größten ist.
Davor habe ich lim H'(t) = 0 für t gegen unendlich berechnet.
Reicht das als Antwort?
Sagst du dass die Funktion fallend ist, da e⁰=1 ist. Bei t>0 wird -19,5 immer kleiner.
Setzt du t=1 ein und rechnest aus. Müsste deiner Vermutung nach H(1) < 0,1 m betragen.
Also kann ich als Beweis für die streng monoton fallende Wachstumsrate das Verhalten gegen 0 Null angeben?
Wie berechne ich H'(t)=0,1 als Grenzfall?