Exponentielles Wachstum / Beschränkte Abnahme?
Das Abkühlen von heißem Tee wurde in einer Tabelle festgehalten (s. Tabelle 1). Die Umgebungstemperatur betrug 20 °C.
a) Bestimmen Sie mithilfe eines mathematischen Modells näherungsweise den Zeitpunkt, zu dem der Tee eine angenehme Trinktemperatur von 60 °C ausweist.
b) Ermitteln Sie die Abkühlungsgeschwindigkeiten zu Beginn und nach 2 Minuten.
c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, wo die Abkühlungsgeschwindigkeit 5 °C betrug.
d) Ermitteln Sie die durchschnittliche Abkühlungsgeschwindigkeit in den ersten 3 Minuten.
Tabelle 1: Temperaturdaten - Abkühlung von Tee
Zeit in Min. : 0 1 2 3
Temperatur in °C :95 86 78 71
Vielen Dank im Voraus und Gruß
1 Antwort
f(t) = a*b^t
.
bei 95 ( t=0) liegt a
.
86 = 95*x^1
b = 86/95
.
f(x) = 95*(86/95)^x
.
f'(x) = 95*log(86/95)*(86/95)^x
.
b) 0 und 2 einsetzen in f'(x)
.
c)
5 = f'(x)
.
d)
(f'(3) - f'(0))/3
Vielen lieben DANK .... Mein Ansatz war wie folgt:
a)
f(x)=T(0) * b^x T(0) = 95
f(x) ist um 20 Einheiten nach oben verschoben -> Verschiebung eliminiert
f(0)=(95-20)*b^(0) = 75 (Vorgänger)
f(1)=(95-20)*b^(1) = 66 (Nachfolger)
Somit ist b=66/75=0,88
f(x)= (95-20)*0,88^(x) + 20 -> Die Verschiebung (+20) kommt wieder rein
Die Funktion erfüllt jetzt die Bedingungen wie in der Tabelle.
Daher f(x)=(95-20)*0,88^(x)+20=60 -> Jetzt nach x umstellen
x*ln(0,88)=ln[(60-20)/(90-20)]
x= ln[(60-20)/(90-20)] / ln(0,88) = x = 4,917 (5) Minuten
Nach ca. 5 Minuten wird die 60 Grad erreicht ... (?)
b) Fortsetzung folgt morgen ...
f'(x) =