Graph Eigenschaften ablesen, Funktionsgleichung aufstellen?
Hallo, wie gehe ich da vor? Und welchen Grad haben diese Funktionen?
5 Antworten
Maximale Anzahl der Extrema (Buckel) bei einer ganzrationalen Funktion
Anzahl der Extrema maximal=n-1 hier ist n=höchster Exponent ,der in der Funktion vorkommt.
Wir sehen in den Bildern 2 Extrema (Maximu und Minimum),also eine ganzrationale Funktion 3. Grades (kubische Funktion)
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
außerdem sieht man noch im linken Bild eine Gerade der Form y=f(x)=m*x
b=0,weil die Gerade durch den Ursprung geht P(0/0) eingesetzt in die allgemeine Form der Geraden y=f(x)=m*x+b ergibt f(0)=0=m*0+b also muß b=0 sein
Die Gerade berührt die kubische Funktion bei Pt(2/2) (t=Tangente)
Sekantensteigung m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1 P1(0/0) und P2(2/2) eingesetzt
m=(2-0)/(2-0)=2/2=1
Tangentengleichung yt=ft(x)=1*x
zu a) y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit P(0/0) ergibt f(0)=0=...+ao also ao=0
bleibt y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x
a) kubische Funktion y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao abgeleitet
f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1
mit P1(0/0) ergibt f(0)=0=...+ao also ao=0
bleibt f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x mit P2(1/0,5) und P3(2/2) ergibt das lineare Gleichungssystem (LGS),was dann gelöst werden muß.
1) f(1)=0,5=a3*1³+a2*1²+a1*1 aus P2(1/0,5)
2) f(2)=2)=2=a3*2³+a2*2²+a1*2 aus P3(2/2)
3) f´(2)=m=1=3*a3*2²+2*a2*2+1*a1 aus der Steigung bei f´(2)=m=1
Wir haben nun ein LGS mit 3 Unbekannte,a3,a2 und a1 und 3 Gleichungen,also lösbar.Das schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht.
1) 1*a3+1*a2+1*a1=0,5
2) 8*a3+4*a2+2*a1=2
3) 12*a3+4*a2+1*a1=1
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=-0,5 und a2=2 und a1=-1
gesuchte Funktion y=f(x)=-0,5*x³+2*x²-1*x
Probe mit P2(1/0,5) f(1)=-0,5*1³+2*1²-1*1=-0,5+2-1=0,5 stimmt also
zu b)
f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao mit P1(0/3) ergibt f(0)=...+ao also ao=3
abgeleitet f´(x)=3*x²+2*a2*x+a1
1) f(2)=1=a3*2³+a2*2²+a1*2+3 aus P2(2/1)
2) f´(0)=m=0=3*a3*0²+2*a2*0+1*a1 f´(0)=0 also a1=0 aus Pmax(0/3)
bleibt
f(x)=a3*x³+a2*x²+3
wir haben hier nun 2 Unbekannte,a3 und a2 und dafür braucht man 2 Gleichungen.
P2(2/1) liefert 1 Gleichung
P2(2/1) könnte auch ein Wendepunkt sein,was geprüft werden muß
Bedingung "Wendepunkt" f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich NULL
2.te Ableitung
f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x
f´´(x)=6*a3*x+2*a2 Pw(2/1)
f´´(2)=0=6*a3*2+2*a2 ergibt a2=-12*a3/2=-6*a3
nun wieder das LGS aufstellen ,ausrechnen und prüfen,ob die Annahme Pw(2/1) richtig ist.
Den Rest schaffst du selber.
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Das sind jeweils ganzrationale Funktionen dritten Grades mit dem Term f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Um die Unbekannten a,b,c,d zu ermitteln, benötigst du ein Gleichungssystem mit vier Bedingungen. In Aufgabe a) sind das z.B. drei Punkte auf dem Graphen sowie die Steigung bei x=2.
Ich glaube es ist eine Funktion dritten Grades (3 Nullstellen, 2 Extremwerte und 1 Wendepunkt). Um ihn zu beschreiben musst du sagen, wo die Nullstellen sind, wo die Extremwerte sind, wo der Wendepunkt liegt, und wo der y-Achsenabschnitt.
Du kannst die wörter um den Graph zu beschreiben verwenden.
Steigend
fallend
positiv
negativ