Gleichungen lösen mit 2 variablen?
Hey ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe, ich hab keine Ahnung wie man die löst. Die Aufgaben sollen anscheined für 8.Klässler sein und ich habe bei photomath versucht eine Lösung zu finden aber da kommt nur ein riesiger Bruch als Lösung raus.
2 Antworten
Erscheint mir so, als wäre das zu komplex. Außerdem ist es ja nur eine Gleichung, aber es tauchen zwei variablen auf. Man könnte versuchen, ob Zähler = Zähler und Nenner = Nenner hinkommt. Aber auch dann hat man eine quadratische Gleichung.
Eines vorneweg: Eine Gleichung lösen, bedeutet ja, dass man die Variable so wählt, dass die linke und die rechte Seite gleich sind.
Hier ein einfaches Beispiel:
Wenn man diese Gleichung lösen soll, heißt das, dass man die Werte für x finden soll, die beide Seiten gleich macht. Das ist hier nur bei x=1 der Fall. Dann steht links 3⋅1+5, was natürlich 8 ist und rechts steht auch 8.
Wenn du dir jetzt die Gleichung anschaust, die du hingeschrieben hast, stellt sich natürlich sofort die Frage, nach welcher Variable man denn auflösen soll.
Denn falls eine der Variablen durch Umformen nicht wegfällt, dann kann man diese Gleichung nach Variable nur in Abhängigkeit der anderen lösen, d.h. man erhält keinen konkreten Zahlenwert, sondern einen Ausdruck, in dem die andere Variable vorkommt.
[Hier noch ein kleines Beispiel, bei dem eine Variable wegfällt, damit du verstehst, wie das gemeint ist:
Hier würde man auf der rechten Seite erst einmal die Klammer ausmultiplizieren:
Wie du siehst, steht jetzt links und rechts 2n, weswegen dieser Term wegfällt und nur folgendes übrigbleibt:
Hier kann man einfach nach m auflösen und erhält die Lösung -6⁄19.]
Zurück zu deiner Gleichung.
Hier fällt keine der Variablen weg, deshalb kann man entweder nach x auflösen und bekommt als Lösung einen recht komplizierten Term, der y enthält, oder man löst nach y auf und bekommt als Lösung einen Term, der x enthält.
Genauer gesagt, man bekommt sowohl für x als auch für y zwei Lösungen. Und wie gesagt, sind die Terme relativ kompliziert; in beiden Varianten kommt z.B. eine Quadratwurzel eines Polynoms vierten Grades vor.
Letztlich sind diese Lösungen gar nicht mal so schwierig auszurechnen, es ist nur etwas mühselig.
Wenn man die Gleichung mit dem Hauptnenner durchmultipliziert, Terme zusammenfasst und alles auf eine Seite bringt, erhält man folgende Gleichung:
Das kann man jetzt entweder als quadratische Gleichung der Variablen x oder eben als quadratische Gleichung der Variablen y interpretieren.
Wenn man nach x lösen will, würde man sich das so denken:
Wie gesagt, ist das im Grunde einfach eine quadratische Gleichung, bei der die Koeffizienten die Terme sind, die ich zur besseren Übersichtlichkeit in Klammern gesetzt habe.
Hier könnte man x mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen; die Lösung enthält eben nur relativ diese komplizierten Terme, wie oben schon erwähnt.
Wenn diese 8.-Klässler schon die Lösungsformel für quadratische Gleichungen gelernt haben, müssten sie theoretisch in der Lage sein, diese Gleichung für x oder y zu lösen, aber einige dürften in der Praxis Schwierigkeiten haben, weil es relativ unüblich ist, solche komplexen Terme zu benutzen.
Man darf sich auch nirgends verrechnen und die Zahlen werden ziemlich groß. Außerdem ist die Lösung wie gesagt etwas mühsam, weil man u.a. das Quadrat dieses Koeffizienten bei x benutzen muss, der selbst ein quadratischer Ausdruck ist. Deshalb hat man am Ende auch ein Polynom 4. Grades unter der Wurzel.
Entweder war hier der Lehrer ziemlich gemein, oder das war eine Aufgabe für sehr begabte Schüler, oder –und das wäre meine Vermutung– hier wurde die Aufgabe falsch abgeschrieben.