Gleichsetzung von Lorentzkraft und Zentripetalkraft?
Hallo Leute,
ich habe folgende Aufgabe, die ich leider nicht lösen kann: Leiten Sie durch den Ansatz, dass die Lorentz-Kraft als Zentripetalkraft der Kreisbewegung der Elektronen wirkt, den Term
her. (d = Durchmesser der Kreisbahn).
Ich komme beim Gleichsetzen nur bis
Könnte mir jemand bitte helfen.
Vielen Dank im Voraus!
2 Antworten
Hallo CertoxLP,
mit U dürfte die Spannung gemeint sein, mit der ein Elektron beschleunigt wird. Dabei gewinnt es die kinetische Energie
(1.1) U·e = ½·mₑ·v² (im NEWTON-Limes v<<c),
was sich zu
(1.2) v² = 2·U·e/mₑ
umstellen lässt. Allgemein ist die LORENTZkraft durch
(2.1) F›_{L} = q·E› + q·v› × B›
gegeben, wobei E› die elektrische Feldstärke und beim Elektron natürlich q=–e ist.
Kräfte, Feldstärken bzw. Flussdichten und natürlich auch Geschwindigkeiten sind samt und sonders Vektorgrößen, Größen mit Richtung. Das '×' ist das Kreuzprodukt. Es steht senkrecht auf beiden Faktoren und hat einen Betrag, der proportional zur Fläche des von ihnen gebildeten Parallelogramms ist. Seine Richtung folgt der Rechte-Hand-Regel, was auch heißt, dass die Vertauschung der Faktoren eine Richtungsumkehr bewirkt.
Wenn wir hier davon ausgehen, dass v› senkrecht zu B› ist, denn sonst würde es eine Schraubenlinie beschreiben. Wir interessieren uns also hauptsächlich für die Beträge:
(2.2) F_{L} = q·v·B = e·v·B
Die Zentripetalkraft bei einer Kreisbahn ist (zumindest im NEWTON-Limes)
(3.1) F›_{z} = mₑ·ω› × v› = mₑ·ω› × (ω› × r›),
wobei r› der Ortsvektor des Elektrons vom Drehzentrum aus ist. Betragsmäßig ist
(3.2) F_{z} = mₑ·ω²·r = mₑ·v²/r.
Zusammen ergibt sich (unter Berücksichtigung von (1))
(4.1) e·v·B = mₑ·v²/r
Umrechnen ergibt
(4.2) e/mₑ = v²/(B·v·r) = v/(B·r),
Dein bisheriges Ergebnis. Wir quadrieren und setzen (1.2) ein:
(4.3) e²/mₑ² = v²/(B²·r²) = 2Ue/(mₑ·B²·r²) |÷e/mₑ
(4.4) e/mₑ = 2U/(B²·r²) = 8U/(B²·d²).
Hi, so würde ich die gesuchte „spezifische Elektronenladung e/m“ herleiten:
- W(elektron)=W(kinetische Energie)
also: e*U=1/2*m*v^2(nach v umstellen)
-> v=Wurzel aus 2*e*U/m
2.Lorentzkraft=Zentrifugalkraft
Bev=m*v^2/r (nach r umstellen)
r=m*v^2/Bev(kürzen) ->r=m*v/Be
3.Jetzt setzten wir die erste(1.) nach v umgestellte Gleichung in die zweite(2.) nach r umgestellte Gleichung für v ein.
Nach Umformungen erhalten wir
—>e/m=2*U/B^2*r^2
Hey vielen vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Wie kommst du jedoch von (4.4) e/mₑ = 2U/(B²·r²) auf = 8U/(B²·d²)? Dieser Schritt ist mir noch nicht ganz klar