Gibt es nur bei Quadratwurzeln zwei Lösungen
Die Quadratwurtel von z B 4ist ja -2 und +2, bekommt man aber auch zwei Lösungen wenn man die dritte oder vierte Wurzel zieht?
6 Antworten
Zunächst mal zur Ausdrucksweise:
Die Gleichung x² = 4 hat 2 Lösungen, nämlich x = +2 und x = -2. Aber die Quadratwurzel von 4 ist +2 - per Definition ist die Wurzel immer die positive Lösung.
Allgemein kann man sagen, dass Gleichungen der Form x^n = y immer 2 Lösungen hat, wenn n gerade ist, und nur 1 Lösung, wenn n ungerade ist (solange wir imaginäre Zahlen als Lösungen außer acht lassen).
Das liegt daran, dass sich bei der Multiplikation jeweils zwei negative Vorzeichen gegenseitig ausgleichen und man so bei geradem Exponenten "nicht mehr erkennen kann", ob eine positive oder eine negative Zahl potenziert wurde, das Ergebnis ist immer positiv. Bei einem ungeraden Exponenten bleibt aber ggf. ein negatives Vorzeichen "übrig". Wenn das Ergebnis der Potenz negativ ist, muss also auch die Ausgangszahl negativ gewesen sein, ist die Potenz positiv, kann kein negatives Vorzeichen mitgespielt haben.
bei dritter, vierter,... Wurzel gibt's auch 3, 4,... Lösungen, allerdings liegen die nur in Ausnahmefällen bei den reellen Zahlen sondern sind komplex.
Mal genau formuliert:
Die Gleichung
x^n = a hat für eine positive Zahl a genau dann zwei reelle Lösungen, wenn n gerade ist und n>0. Für ungerades n hat sie genau eine reelle Lösung.
Insgesamt hat die Gleichung für n>0 und a >0 immer n verschiedene Lösungen, von denen aber n-2 Lösungen (für gerades n) bzw. n-1 Lösungen (für ungerades n) komplexe Zahlen sind.
D. h. die Gleichungen
x^2 = 4
x^4 = 4
x^6 = 4
haben jeweils zwei reelle Lösungen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden.
x^1 = 4
x^3 = 4
x^5 = 4
...
haben nur eine reelle Lösung.
Es gibt immer nur eine Lösung.
Die Quadratwurzel aus 4 ist +2.
Was du meinst, ist dass die Gleichung y = x² für y=4 zwei Lösungen hat, nämlich x=-2 und x=+2.
Die Frage kannst du dir selbst beantworten...
-2 x -2 x -2
2 x 2 x 2
Also gibt es nur bei positiven Wurzeln zwei Lösungen?