Gibt es eine Seite im Internet, die eine Grenzmatrix errechnen kann?
Wenn man sich im Modus für Matrizen befindet, ist es ja nicht möglich auch Hochzahlen einzugeben, und somit ein ewig langer Prozess die Grenzmatrix auszurechnen?
Weiß daher jemand wie man das sonst machen kann oder ob es im Internet eine Seite gibt, die das automatisch macht?
1 Antwort
zur Aufgabenstellung: Ich nehme an, dass Du ein bestimmtes System betrachtest, das durch einen "Zustandsvektor" beschrieben wird. Der Zustand zum naechsten Zeitschritt ergibt sich durch Multiplikation des aktuellen Zustandsvektors mit einer "Uebergangsmatrix".
Wenn also ein System mit Uebergangsmatrix M im Zustand v startet, dann ist es nach n Zeitschritten im Zustand M^n * v. Um die langfristige Entwicklung zu beschreiben, bist Du also am Grenzwert von M^n fuer immer groessere n interessiert, oder?
Beispiel: Ein Beispielproblem findet sich unter https://www.gutefrage.net/frage/marktaufteilung-mittels-uebergangsmatrix-berechnen. Hier braeuchte man fuer die langfristige Entwicklung die "Grenzmatrix" zu M = (0.9, 0.3; 0.1, 0.7). Dazu kannst Du so vorgehen:
Variante 1 (Rechenweg mit Online-Hilfe): Lass die Matrix von WolframAlpha diagonalisieren - Du musst nicht wirklich wissen, was das genau bedeutet... Einfach entsprechend eingeben: https://www.wolframalpha.com/input/?i=diagonalize+%7B%7B0.9,+0.3%7D,+%7B0.1,+0.7%7D%7D
Du bekommst dann eine Schreibweise von M als Produkt dreier Matrizen, naemlich M = S * J * S^-1, wobei Dir S und J von WolframAlpha eben ausgerechnet werden; in diesem Fall kommen S = (-1, 3; 1, 1) und J = (0.6, 0; 0, 1) und S^-1 = (-0.25, 0.75; 0.25, 0.25) heraus. Nun kann man die n-te Potenz folgendermassen berechnen:
M^n = S J S^-1 * S J S^-1 * ... * S J S^-1 = S * J^n * S^-1
Warum ist das einfacher? Nun, weil J eine diagonalmatrix ist! Um J^n zu erhalten, muss man einfach nur die n-ten Potenzen auf der Diagonalen nehmen, d.h. J^n = (0.6^n, 0; 0, 1^n). Im Grenzwert wird diese Matrix zu (0, 0; 0, 1). Damit erhaelst Du:
"Grenzmatrix zu M" = S * (0, 0; 0, 1) * S^-1 = ... = (0.75, 0.75; 0.25, 0.25)
Variante 2 (nur das Ergebnis): Wenn Du gar keinen Rechenweg benoetigst, kannst Du es auf WolframAlpha auch mit folgender Eingabe probieren: https://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+%7B%7B0.9,+0.3%7D,+%7B0.1,+0.7%7D%7D%5En+for+n+to+infinity