Gibt es ein Muster in den Nachkommastellen der Zahl PI?
Manche Dezimalzahlen haben nach dem Komma ja eine bestimmte Zahlenfolge immer wieder wiederholt, beispielsweise 123/999=0,123123123123123 ...
Ist es theoretisch möglich, dass es bei PI auch so ein Muster gibt, nur es ist enorm lang, deshalb wurde es noch nicht entdeckt?
Diese Frage finde ich echt interessant, freue mich auf eure Antworten :D
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Dass Pi irrational ist, das wurde schon vor ca 250 Jahren von dem Mathematiker Lambert bewiesen. "irrational" heißt, dass eine Zahl nicht gleich ist einem Verhältnis zweier ganzer Zahlen (sprich: nicht gleich ist einem gewöhnlichen Bruch).
Irrationale Zahlen haben immer eine unendliche, nichtperiodische Dezimaldarstellung. Dies ist sehr einfach zu sehen:
In der sechsten Klasse habt ihr gelernt: Eine periodische Deziamalzahl wird in einen Bruch verwandelt, indem die Periode als ganze Zahl in den Zähler kommt, und in den Nenner eine Zahl aus sovielen Neuenern, wie die Periode lang ist. Beispiel: 0,345345345345345... = 345/999.
Da aber Pi irrational ist, kann Pi nicht gleich einem gewöhnlichen Bruch sein, also ist die Dezimaldarstellung nicht-periodisch - so einfach ist das, sechste Klasse! Die Herausvorderung ist natürlich, nachzuweisen, dass Pi irrational ist. Für einen einfacheren Fall, nämlich die Irrationalität der Wurzel aus 2, hattet ihr das schonmal in der Schule (der klassische Beweis von Euklid). Schau dir das halt noch mal an, dann weißt du, wie sowas im Prinzip geht. Für Pi ist das halt schwieriger.
PS: Verwechsle nicht "periodisch" mit "ein Muster haben". Das ist nicht dasselbe. Aus deiner Frage war klar, dass du "periodisch" meintest.
Eine Zahl kann aber in ihren Nahckommastellen ein einfaches Muster haben, ohne darum periodisch zu sein. Einfaches Beispiel:
0,1101001000100001000001000000100000001... (jeweils vor der nächsten 1 eine 0 mehr)
Ein sehr einfaches Muster, aber eben keine Periode. Diese Zahl ist irrational!
Ich habe mal zwei kleine Bildchen generiert und an diese Antwort rangehängt.
Das erste zeigt die ersten 10000 Nachkommastellen von Pi, in einer Matrix aus 100 mal 100 Grauwerten (0 = Schwarz, 9 = Weiß).
Das zweite ist genau das selbe, bloß mit den ersten Millionen Nachkommastellen (sprich 1000 mal 1000 Bildpunkten).
Auf dem ersten Blick sieht das sehr schön gleich verteilt aus, oder? :)
![3.[100x100 Stellen] - (Mathematik, Physik, rechnen)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/233702981/0_big.png?v=1483450318000)
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§1: unter http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
findest Du mehrere Beweise der Irrationalität (also nicht durch Bruch darstellbar; schon über 250 Jahre bekannt)
§2: unter http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm
findest Du die Zahlenfolge A036903, also bis zu welcher Position garantiert jedes n-stellige Muster in Pi zu finden ist!
z.B. um alle 8stelligen Ziffernkombinationen zu finden, brauchst Du nur
1816743912 Nachkommastellen.
Das kann man bis 10^80 machen um alle Atomkombinationen des ganzen Weltalls durchzugehen (was immer noch per Bruch darstellbar wäre!)
-> aber das ist immer noch UNENDLICH weit entfernt von der unendlichen Anzahl der Nachkommastellen irrationaler Zahlen wie Pi!
Da Pi unendlich lang ist und jede Zahlenfolge vorkommt gibt es verschiedene die sich vielfach wiederholen, aber keine die sich immer wieder wiederholt, nein nach so 20, 30 Wiederholungen kommt wieder was anderes.
Nehmen wir z.b. diese irrationale Zahl: 0.101100110001 ..... diese Zahl ist irrational und folgt einen bestimmten Muster. Ob das bei der Zahl PI der Fall ist , ist noch unbekannt.
Ich verweise auf dieses Video:
Mir ist klar das das Muster nicht periodisch ist , aber dennoch denken viele Menschen das in PI jede Zahlenfolge vorkommt.
PS: Mir ist klar, dass ich deine Frage nicht beantwortet habe, aber das haben andere schon zur Genüge getan. Ich finde es einfach immer interessant Rauschen in Bildform darzustellen, und wollte das hier einfach mal tun, weil es irgendwie gerade gepasst hat. :)