Geradengleichung aufstellen?
Hallo, bräuchte Hilfe bei a). Wäre nett, wenn mir da jemand helfen konnte. Danke schonmal im Voraus
2 Antworten
g: x = (0, 0, 2) + t (0, 2, 0)
h: x = (0, 2, 0) + t (2, 0, 2)
k: x = t (2, 2, 2)
Stützvektor ist z. B. eine Ecke des Würfels, wo die jeweilige Gerade durchgeht. Der Richtungsvektor ist dann ein zum Differenzvektor der beiden Ecken paralleler Vektor.
Hi,
offenbar scheinen noch nicht alle offenen Fragen geklärt zu sein, weshalb die Frage nochmal neu eingestellt wurde?
Dann fangen wir mal ganz vorn an, und klären, wie eine Geradengleichung überhaupt im R³ aufgebaut ist.
Die Geradengleichung umfasst drei Bestandteile:
- Stützvektor: Das ist der Ortsvektor vom Ursprung O(0|0|0) aus zu einem Punkt P1, durch den die Gerade verläuft.
- Richtungsvektor: Dieser gibt, wie der Name schon sagt, vom Punkt P1 zu einem weiteren Punkt P2 an, in dessen Richtung die Gerade verläuft.
- Faktor: Der Faktor vor dem Richtungsvektor kann einen beliebigen Wert annehmen. Ist er positiv, so verläuft der Richtungsvektor in Richtung P2, ist er negativ, so verläuft er genau entgegengesetzt zur Strecke P1-P2. Insgesamt ergibt sich dadurch die Gerade.
Die Form ist also g: Vektor x = Stützvektor + r*Richtungsvektor.
Um den Stützvektor zu bestimmen, ermittelst du einen Punkt P1, durch den die Gerade verläuft. Für die Gerade g ist das zum Beispiel der Punkt H(0|0|2). Dein Stützvektor ist nun der Ortsvektor des Punktes (0, 0, 2). Ich stelle das hier durch Kommata getrennt in einer Zeile dar, du musst die Koordinaten natürlich untereinander schreiben.
Nun benötigst du für den Richtungsvektor noch einen Punkt P2. Das ist hier G(0|2|2), da die Gerade g ebenfalls durch diesen Punkt verläuft. Nun musst du also den Vektor bestimmen, der von P1 nach P2 verläuft. Dazu ziehst du die x-Koordinate von P1 von der x-Koordinate von P2 ab: 0 - 0 = 0. Das machst du auch für die y- und die z-Koordinate und kommst auf den Richtungsvektor (0, 2, 0).
Den Faktor r lassen wir einfach, wie er ist. Wir erhalten also für die Gerade g:
g: x = (0, 0, 2) + r*(0, 2, 0).
Für die übrigen Geraden gehen wir genauso vor. Bei Gerade h nehmen wir als Stützvektor z. B. den Ortsvektor des Punktes F(2|2|2) - du musst für den Stützvektor also nur die Koordinaten des Punktes F abschreiben und untereinander schreiben: (2, 2, 2). Für den Richtungsvektor nimmst du als zweiten Punkt den Punkt C(0|2|0). Wir rechnen also wieder für die x-Koordinate xC - xF = 2-0 = 2, für die y-Koordinate yC - yF = 2-2 = 0 und für die z-Koordinate zC - zF = 2-0 = 0. Wir erhalten also als Richtungsvektor (2, 0, 0) und als Geradengleichung:
h: x = (2, 2, 2) + s*(2, 0, 0).
Ebenso gehst du bei der Gerade k vor (Stützvektor = Ortsvektor zu Punkt D(0|0,0), Richtungsvektor = Vektor von Punkt D zu Punkt F). Wir erhalten:
k: x = (0, 0, 0) + t*(2, 2, 2) = t*(2, 2, 2).
LG
Vielen Dank :)