Geraden und Ebenen?
Hallo zusammen,
- Die Begründung, warum sie parallel, aber nicht identisch sind, habe ich anhand der beiden Richtungsvektoren erkannt. Der Richtungsvektor der zweiten Geraden ist ein Vielfaches (nämlich -2) des Richtungsvektors der ersten Geraden. Daher schließe ich daraus, dass sie parallel sind. Wie kann ich nachweisen, ob sie identisch sind oder nicht?
- Was macht man, wenn man die Ebene angeben möchte, aber das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Nullvektor ist?
2 Antworten
Zu 1:
Dazu musst du überlegen, was der mathematische Unterschied zwischen parallel und identisch ist. Bei beidem sind die Richtungsvektoren linear abhängig (Vielfache voneinander).
Unterschied: Wenn die Geraden parallel sind, haben sie keine gemeinsamen Punkte. Wenn die Geraden identisch sind, haben sie nur gemeinsame Punkte.
D.h. du musst nur eine Punkt der Geraden g nehmen und prüfen, ob er auf h liegt.
Wenn ja --> Identisch
Wenn nein --> Parallel
Zu 2:
Versuch dir mal räumlich vorzustellen was du versucht hast (wenn möglich). Du nimmst einen Punkt der auf der Ebene liegt und versuchst die Ebene mit 2 Richtungsvektoren aufzuspannen. Wenn die Richtungsvektoren aber linear abhängig sind, dann kannst du nichts aufspannen, da sie in die selbe Richtung zeigen. Es gibt also mehrere mögliche Ebenen.
Du brauchst dafür also immer 2 Vektoren, die in unterschiedliche Richtungen zeigen.
Lege mal zwei Stifte auf den Tisch, so dass sie parallel sind. Wir sagen einfach mal, dass das Stiftende unser Stützvektor ist und die Strecke bis zur Spitze unser Richtungsvektor. Der Tisch ist in diesem Beispiel unsere Ebene, da ja beide Stifte in ("auf") dieser Ebene liegen. Hast du eine Idee, welche 2 Vektoren wir nehmen können, die in der Ebene liegen und nicht sie selbe Richtung haben?
Wenn wir das haben, dann ist dein Kreuzprodukt auch nicht Null.
und den anderen freien Punkt zum Richtungsvektor umstelle.
Verstehe ich nicht. Als zweiten RV nimmst du z.B. den Differenzvektor zwischen beiden OV.
Als zweiten Richtungsvektor deiner Ebene nimmst du am besten einen Vektor von Stift 1 zu Stift 2. Weil dieser Vektor liegt auch auf dem Tisch, hat aber eine andere Richtung.
Am einfachsten ist das, wenn du den Vektor aus den beiden Stützvektoren der Geraden berechnest. Also im Prinzip der Vektor von Stiftende bis Stiftende, weil du die beiden Punkte schon kennst.
prüfe einfach nach, ob der Stützpunkt der zweiten Gerade (1|0|1) auf der ersten liegt oder nicht (Punktprobe). Liegt er nicht drauf, dann sind sie echt parallel
Ich habe ja zwei Geraden, und die Richtungsvektoren zeigen in die gleiche Richtung, also kann ich auch keine Ebene aufspannen, was mir relativ ersichtlich erscheint. Also nehme ich einen Richtungsvektor der einen Gerade, aber wie soll ich an den anderen Richtungsvektor kommen, um die Ebene aufzuspannen, indem ich einen Punkt der Geraden als Stützvektor der Ebene setze und den anderen freien Punkt zum Richtungsvektor umstelle. E: (1;2;1) + t (-2;6;2) + s (0;-2;0) und jetzt aus den zwei Richtungsvektoren das Kreuzprodukt ermitteln etc.? Oder bin ich schon wieder auf dem Holzweg. Gruß und vielen Dank für deine ausführliche Antwort :)